隐式表达式求显式函数：隐函数显式化及导数、微分求解问询

嘿，我来帮你一步步搞定这个问题，其实你已经做对了不少步骤，只是差最后临门一脚啦！

首先，我们先解决**$y'(1)$和$dy(1)$**的问题——这个其实比求显式表达式简单得多：

你已经通过隐函数求导得到了正确的式子：
$$y + xy' + \frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 0$$
现在要求$x=1$处的导数，直接把点$P(1,1)$的坐标代入这个式子就好啦！把$x=1$、$y=1$代入后：
$$1 + 1 \cdot y'(1) + \frac{1}{1} + \frac{y'(1)}{1} = 0$$
化简一下：
$$2 + 2y'(1) = 0$$
解这个方程就能得到$y'(1) = -1$。

至于$dy(1)$，根据微分的定义，$dy = y'(x)dx$，所以在$x=1$处，$dy(1) = y'(1)dx = -dx$。如果是问该点处微分的数值（当$dx$为增量时），就是$-dx$，或者可以理解为在$x=1$附近，函数的微分近似为$-dx$。

接下来是**显式表达式$y(x)$**的求解：
你尝试对原方程取指数得到$e^{xy}xy = e$，这个思路没问题，不过我们可以换个变量替换来简化问题：
令$t = xy$，原方程就变成了：
$$t + \ln t = 1$$
我们来分析这个关于$t$的方程：设$f(t) = t + \ln t - 1$，它的定义域是$t>0$（因为对数函数要求自变量大于0）。对$f(t)$求导得$f'(t) = 1 + \frac{1}{t}$，显然在$t>0$时$f'(t) > 0$，说明$f(t)$在$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。而$f(1) = 1 + \ln1 - 1 = 0$，所以这个方程只有唯一解$t=1$。

也就是说$xy = 1$，那么显式表达式就是$y(x) = \frac{1}{x}$（$x>0$，保证$xy>0$满足对数的定义域）。我们可以验证一下：把$y=\frac{1}{x}$代入原方程，左边是$x \cdot \frac{1}{x} + \ln(x \cdot \frac{1}{x}) = 1 + \ln1 = 1$，完全等于右边，没问题！

而且用这个显式表达式求导的话，$y'(x) = -\frac{1}{x^2}$，代入$x=1$得到$y'(1)=-1$，和之前隐函数求导的结果一致，完美验证了正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Iam