应用Liouville定理证明满足|f(z)|≥1的整函数为常数

你的思路抓得特别准！这道题的核心就是借助Liouville定理，而你想到构造$g=\frac{1}{f}$的方向完全正确，我来帮你把关键的逻辑链补全：

• 确认f无零点：已知f是整函数（在整个$\mathbb{C}$上解析），且对所有$z \in \mathbb{C}$满足$|f(z)| \geq 1$。假设存在某个$z_0 \in \mathbb{C}$使得$f(z_0)=0$，那必然有$|f(z_0)|=0$，这和题目给出的下界条件矛盾。因此，f在$\mathbb{C}$中处处无零点。

• 证明g是整函数：解析函数的一个重要性质是：如果一个函数在某区域内解析且处处不为零，那么它的倒数在该区域内也解析。由于f是整函数且在$\mathbb{C}$上无零点，所以$g(z)=\frac{1}{f(z)}$在整个$\mathbb{C}$上都是解析的——也就是说g是整函数。

• 应用Liouville定理：由$|f(z)| \geq 1$，两边取倒数可得$|g(z)| = \frac{1}{|f(z)|} \leq 1$，这说明g是有界的整函数。根据Liouville定理：有界的整函数必为常数。既然g是常数，那么$f(z)=\frac{1}{g(z)}$自然也是常数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者VoB