近似斯特林公式优化：如何推导更紧的n!上界

嘿，你已经离目标结果只差一步啦！之前用$\ln(x+1)$的积分近似有点绕远路，咱们直接对$\ln x$做文章，利用它的凹函数性质调整梯形法则的应用，就能得到那个更紧的上界。

核心思路：针对$\ln x$的凹性用梯形法则 #

首先明确目标等价于证明：
$$\ln(n!) \le 1 + \frac{1}{2}\ln n + n\ln n - n$$
我们直接对函数$f(x)=\ln x$（它是凹函数，二阶导数$f''(x)=-\frac{1}{x^2}<0$）应用梯形法则：

对于每个区间$[k, k+1]$（$k=1,2,...,n-1$），凹函数的弦在函数图像下方，因此梯形面积（弦下的面积）小于等于积分（函数下的面积）：
$$\frac{\ln k + \ln(k+1)}{2} \le \int_k^{k+1} \ln x dx$$

把这$n-1$个不等式加起来：
$$\frac{1}{2}\ln1 + \sum_{k=2}^{n-1}\ln k + \frac{1}{2}\ln n \le \int_1^n \ln x dx$$

计算积分并整理不等式 #

先算右边的积分：
$$\int_1^n \ln x dx = \left[ x\ln x - x \right]_1^n = n\ln n -n +1$$

左边的求和式可以改写为$\sum_{k=1}^n \ln k - \frac{1}{2}(\ln1 + \ln n)$（把首尾项的一半补回去就是完整的求和），代入后：
$$\ln(n!) - \frac{1}{2}\ln n \le n\ln n -n +1$$

把$\frac{1}{2}\ln n$移到右边，再两边取自然指数：
$$\ln(n!) \le n\ln n -n +1 + \frac{1}{2}\ln n$$
$$n! \le e \cdot \sqrt{n} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n$$

为什么这个推导更紧？ #

你之前用$\ln(x+1)$从0到n的积分，相当于做了变量平移，额外引入了$n+1$的项，导致上界偏松。而直接针对$\ln k$的求和做梯形近似，利用凹函数的性质保证了不等式方向精准，没有多余的平移误差，自然得到了更贴合目标的紧上界。

比如n=1时，两边刚好相等；n=2时，目标上界≈2.07，而你的原上界≈2.17，确实更紧。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者qwr