如何用ε-δ证明当x→∞时|x/(x+1)|的极限为1？

别担心，你已经把问题转化到正确的形式了！接下来只需要一步步化简绝对值表达式，就能找到满足条件的δ，我们来拆解整个过程：

第一步：化简绝对值内的差值 #

首先，我们把需要控制的绝对值项展开计算：
$$\left|\frac{x}{x+1} - 1\right| = \left|\frac{x - (x+1)}{x+1}\right| = \left|\frac{-1}{x+1}\right| = \frac{1}{|x+1|}$$
这里利用了绝对值的性质：$|a/b|=|a|/|b|$，以及$|-1|=1$。

第二步：针对x→∞的情况做合理限定 #

因为我们要证明的是x趋向正无穷时的极限，所以可以只考虑x>0的场景（当x足够大时，x必然大于0，不会影响极限的证明）。此时$x+1>0$，所以$|x+1|=x+1$，上面的式子可以进一步简化为：
$$\frac{1}{x+1}$$

第三步：解不等式找到x的范围 #

我们的目标是让$\frac{1}{x+1} < \epsilon$，对这个不等式变形求解：

1. 两边同时取倒数（因为x+1和ε都是正数，不等号方向不变），得到$x+1 > \frac{1}{\epsilon}$
2. 移项后得到$x > \frac{1}{\epsilon} - 1$

第四步：确定δ的取值 #

这里需要注意一个细节：当ε>1时，$\frac{1}{\epsilon}-1$会是负数，但我们要的是x>δ且x趋向正无穷，所以δ不能是负数。因此我们取$\delta = \max\left(0, \frac{1}{\epsilon} - 1\right)$。

完整的证明表述 #

把上面的逻辑整合起来，完整的证明就是：

对于任意给定的$\epsilon>0$，取$\delta = \max\left(0, \frac{1}{\epsilon} - 1\right)$，当$x > \delta$时，有：
$$\left|\frac{x}{x+1} - 1\right| = \frac{1}{x+1} < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon} - 1 + 1} = \epsilon$$
因此$\lim_{x\to\infty} \left|\frac{x}{x+1}\right|=1$得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathingmatics