关于Sinkhorn Knopp算法收敛性简洁证明的获取途径问询

我刚好整理过几个避开原论文繁琐构造、且无需额外强假设的简洁收敛性证明方向，分享给你：

• 基于Bregman散度的交替投影框架
  把Sinkhorn-Knopp的迭代看作是在双随机矩阵集合上，对KL散度（一种经典Bregman散度）的交替投影操作——每次迭代分别将矩阵投影到“行和为1”的多面体，再投影到“列和为1”的多面体。根据Bregman散度的交替投影收敛定理，只要原矩阵是不可约非负矩阵（或全正矩阵），迭代序列必然收敛到双随机矩阵。这个证明核心依赖凸性与投影的性质，不需要跟踪每一步迭代的细节，步骤比原论文短很多。

• 基于单调收敛定理的简化推导
  针对全正矩阵的情况，定义迭代中的行缩放因子序列{r_k}和列缩放因子序列{c_k}，构造一个单调有界的势能函数（比如迭代后矩阵的对数行列式，或行/列和的偏差平方和）。利用实分析中的单调收敛定理，直接证明这个势能序列收敛，进而推导出缩放因子序列收敛，最终得到双随机矩阵的极限。这个方法只需要基础实分析知识，完全避开原论文的构造性细节。

• 覆盖不可约非负矩阵的通用证明
  对于更广泛的不可约非负矩阵（不一定全正），可以结合Perron-Frobenius定理：先证明存在与原矩阵同余的双随机矩阵，再将Sinkhorn-Knopp的迭代转化为对Perron根的逼近过程。通过分析迭代序列的有界性与单调性，直接证明迭代会收敛到目标双随机矩阵，不需要预先假设算法在特定矩阵类别下收敛。

这些简洁证明通常可以在凸优化、数值线性代数的高校讲义或进阶教材的浓缩章节里找到，不需要啃原论文的繁琐构造。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aleio1