$\cos^2x-\sin^2x$相对误差计算结果与书本不符，请教错因

你计算时的核心错误出在两个地方，咱们一步步拆解：

1. 错误地简化了$\cos x$和$\sin x$的舍入值 #

首先，$x=0.7854$非常接近$\pi/4$（≈0.7853981634），对应的$\cos x$和$\sin x$实际值是：

• $\cos(0.7854)≈0.7071054825$
• $\sin(0.7854)≈0.7071080798$

按照尾数保留六位的舍入存储规则，这两个值应该舍入为：

• $fl(\cos x)=0.707105$（第七位是4，直接舍去）
• $fl(\sin x)=0.707108$（第七位是0，直接舍去）

而你直接取了四位小数的$0.7071$，这一步就丢失了关键的精度信息，导致后续结果完全偏离。

2. 忽略了运算过程中的每一步舍入要求 #

题目要求的是对整个表达式采用尾数保留六位的舍入存储，意味着每一步运算后都需要做尾数六位的舍入，而不是只对最终结果舍入：

1. 计算平方并舍入：
   • $(0.707105)^{2≈0.499997481025$，舍入六位尾数后得到$fl(\cos}2x)=0.499997$
   • $(0.707108)^{2≈0.500001723664$，舍入六位尾数后得到$fl(\sin}2x)=0.500002$
2. 做减法并舍入：
   • $0.499997 - 0.500002 = -0.000005$，舍入后结果为$fl(f(x))=-5\times10^{-6}$

3. 正确计算相对误差 #

现在用舍入后的结果和真实值计算相对误差：
$$
\frac{|fl(f(x)) - f(x)|}{|f(x)|} = \frac{|-5\times10^{-6} - (-3.673205105\times10^{{-6})|}{|-3.673205105\times10}{-6}|} \approx \frac{1.3268\times10^{{-6}}{3.6732\times10}{-6}} \approx 36%
$$

这样就和书本给出的答案一致啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox