函数在x趋于无穷时的柯西准则自拟定义正确性求证

你写的这个定义完全正确！不过可以补充一些更完整的细节，让它覆盖更多趋势场景：

• 首先，函数的定义域不一定非得是全体实数，只要是形如$(a, +\infty)$的区间（也就是$x$趋于$+\infty$时函数有定义）就可以，更严谨的表述可以是：设$f(x)$在$(a, +\infty)$上有定义，对任意$\varepsilon>0$，存在$M>a$，使得当$x,y>M$时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，此时称$f(x)$当$x\to+\infty$时满足柯西收敛准则（即极限存在）。
• 如果是$x\to-\infty$的情况，定义可调整为：设$f(x)$在$(-\infty, b)$上有定义，对任意$\varepsilon>0$，存在$N<b$，使得当$x,y<N$时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
• 而如果是$x\to\infty$（即$x$同时趋于正负无穷），则定义是：设$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上有定义，对任意$\varepsilon>0$，存在$K>0$，使得当$|x|>K$且$|y|>K$时，$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。

不过你最初写的针对$x$趋于正无穷（全体实数上的函数，$x,y>M$）的表述完全准确，柯西准则核心的“当自变量足够大时，任意两点的函数值差可任意小”的本质你已经精准抓住了！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者E. Ginzburg