设$f\colon A\longrightarrow B$为有限代数，问$B_{\mathfrak{p}}$是否为$A_{\mathfrak{q}}$上有限生成代数？

先给你一个明确的结论：是的，$B_{\mathfrak{p}}$作为$A_{\mathfrak{q}}$-代数是有限生成的，甚至它作为$A_{\mathfrak{q}}$-模都是有限生成的。

下面来具体解释原因：

• 首先回忆题目里的核心条件：$f\colon A\longrightarrow B$是有限代数，这意味着$B$作为$A$-模是有限生成的——换句话说，存在有限个元素$b_1,b_2,\dots,b_n \in B$，使得$B$里的每个元素都能写成$A$中元素与这些$b_i$的线性组合。
• 接下来看局部化的关键性质：有限生成模的局部化仍然是有限生成模。我们先把$B$在$\mathfrak{q}$处局部化得到$A_{\mathfrak{q}}$-模$B_{\mathfrak{q}}$，它是有限生成的；而$B_{\mathfrak{p}}$其实是$B_{\mathfrak{q}}$在$\mathfrak{p}B_{\mathfrak{q}}$这个素理想处的局部化，局部化操作不会把有限生成模变成无限生成的，所以$B_{\mathfrak{p}}$作为$A_{\mathfrak{q}}$-模还是有限生成的。
• 最后要明确一个逻辑关系：“作为模有限生成”是比“作为代数有限生成”更强的条件。如果一个$R$-代数$S$是有限生成$R$-模，那它必然是有限生成$R$-代数——你只需要把模的那组生成元拿过来，它们就能生成整个代数。对应到这里，假设$B = A b_1 + \dots + A b_n$，那么$B_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{q}} \cdot \frac{b_1}{1} + \dots + A_{\mathfrak{q}} \cdot \frac{b_n}{1}$，这组$\frac{b_i}{1}$就是$B_{\mathfrak{p}}$作为$A_{\mathfrak{q}}$-代数的生成元。

简单总结：模有限的代数局部化后仍保持模有限的性质，自然也就满足有限生成代数的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vincenzo Zaccaro