联合概率密度函数问题求解：求c、条件分布等相关疑问

嘿，我来一步步帮你拆解这个联合概率的问题，先从你最困惑的求常数c开始讲起～

(a) 求常数c的值 #

首先要牢记：离散型联合概率分布的所有概率之和必须等于1，这是解这类问题的核心！这里的$f(x,y)$其实是联合概率质量函数（因为x和y都是离散取值），所以我们需要遍历所有可能的(x,y)组合，把每个组合对应的$f(x,y)$加起来等于1，就能解出c了。

先列出所有x和y的组合（共4×3=12组），逐个计算$f(x,y)$：

• $x=-1,y=-1$: $c((-1)^2 + (-1)^2) = 2c$
• $x=-1,y=2$: $c((-1)^2 + 2^2) = 5c$
• $x=-1,y=3$: $c((-1)^2 + 3^2) = 10c$
• $x=0,y=-1$: $c(0^2 + (-1)^2) = c$
• $x=0,y=2$: $c(0^2 + 2^2) = 4c$
• $x=0,y=3$: $c(0^2 + 3^2) = 9c$
• $x=1,y=-1$: $c(1^2 + (-1)^2) = 2c$
• $x=1,y=2$: $c(1^2 + 2^2) = 5c$
• $x=1,y=3$: $c(1^2 + 3^2) = 10c$
• $x=3,y=-1$: $c(3^2 + (-1)^2) = 10c$
• $x=3,y=2$: $c(3^2 + 2^2) = 13c$
• $x=3,y=3$: $c(3^2 + 3^2) = 18c$

把这些结果全部相加：
$2c+5c+10c+c+4c+9c+2c+5c+10c+10c+13c+18c = 89c$

因为所有概率和为1，所以$89c=1$，解得$c=\frac{1}{89}$。是不是一下子就明白啦？

(b) 求给定Y=2时X的条件分布表 #

条件概率的核心公式是：
$$P(X=x | Y=2) = \frac{P(X=x,Y=2)}{P(Y=2)}$$

首先计算$P(Y=2)$，也就是所有x对应Y=2的概率之和：
当Y=2时，x取-1、0、1、3对应的概率分别是5c、4c、5c、13c，总和为$5c+4c+5c+13c=27c$。代入$c=\frac{1}{89}$，得$P(Y=2)=\frac{27}{89}$。

接下来逐个计算每个x对应的条件概率：

• $P(X=-1|Y=2)=\frac{5c}{27c}=\frac{5}{27}$
• $P(X=0|Y=2)=\frac{4c}{27c}=\frac{4}{27}$
• $P(X=1|Y=2)=\frac{5c}{27c}=\frac{5}{27}$
• $P(X=3|Y=2)=\frac{13c}{27c}=\frac{13}{27}$

整理成表格就是：

(c) 计算$P(X>2-Y)$ #

先把不等式变形一下：$X>2-Y$等价于$X+Y>2$。我们只需要找出所有满足这个条件的(x,y)组合，把它们的概率加起来就行。

逐个检查每一组(x,y)：

• $(-1,-1)$: $-1+(-1)=-2 \leq2$ → 不满足
• $(-1,2)$: $-1+2=1 \leq2$ → 不满足
• $(-1,3)$: $-1+3=2 \leq2$ → 不满足（注意是严格大于2，等于不算）
• $(0,-1)$: $0+(-1)=-1 \leq2$ → 不满足
• $(0,2)$: $0+2=2 \leq2$ → 不满足
• $(0,3)$: $0+3=3>2$ → 满足，概率9c
• $(1,-1)$: $1+(-1)=0 \leq2$ → 不满足
• $(1,2)$: $1+2=3>2$ → 满足，概率5c
• $(1,3)$: $1+3=4>2$ → 满足，概率10c
• $(3,-1)$: $3+(-1)=2 \leq2$ → 不满足
• $(3,2)$: $3+2=5>2$ → 满足，概率13c
• $(3,3)$: $3+3=6>2$ → 满足，概率18c

把满足条件的概率相加：$9c+5c+10c+13c+18c=55c$，代入$c=\frac{1}{89}$，得$P(X>2-Y)=\frac{55}{89}$。

(d) 计算$Cov(X,Y)$ #

协方差的计算公式是：
$$Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$$
我们需要分别算出$E[X]$、$E[Y]$、$E[XY]$三个值。

第一步：计算$E[X]$（X的期望） #

先求X的边缘概率分布：$P(X=x)$等于所有y对应$(x,y)$的概率之和：

• $P(X=-1)=2c+5c+10c=17c$
• $P(X=0)=c+4c+9c=14c$
• $P(X=1)=2c+5c+10c=17c$
• $P(X=3)=10c+13c+18c=41c$

则$E[X] = (-1)×17c + 0×14c +1×17c +3×41c = (-17c)+0+17c+123c=123c=\frac{123}{89}$

第二步：计算$E[Y]$（Y的期望） #

再求Y的边缘概率分布：$P(Y=y)$等于所有x对应$(x,y)$的概率之和：

• $P(Y=-1)=2c+c+2c+10c=15c$
• $P(Y=2)=5c+4c+5c+13c=27c$
• $P(Y=3)=10c+9c+10c+18c=47c$

则$E[Y] = (-1)×15c +2×27c +3×47c = (-15c)+54c+141c=180c=\frac{180}{89}$

第三步：计算$E[XY]$（XY的期望） #

遍历所有(x,y)组合，计算$xy×f(x,y)$后求和：

• $(-1)(-1)×2c=2c$
• $(-1)(2)×5c=-10c$
• $(-1)(3)×10c=-30c$
• $0×(-1)×c=0$
• $0×2×4c=0$
• $0×3×9c=0$
• $1×(-1)×2c=-2c$
• $1×2×5c=10c$
• $1×3×10c=30c$
• $3×(-1)×10c=-30c$
• $3×2×13c=78c$
• $3×3×18c=162c$

把这些结果相加：$2c-10c-30c+0+0+0-2c+10c+30c-30c+78c+162c=210c=\frac{210}{89}$

最后计算协方差 #

代入公式：
$$Cov(X,Y)=\frac{210}{89} - \left(\frac{123}{89}\right)\left(\frac{180}{89}\right) = \frac{210×89 - 123×180}{89^2}$$
计算分子：$210×89=18690$，$123×180=22140$，$18690-22140=-3450$
所以$Cov(X,Y)=\frac{-3450}{7921}$（89是质数，分子分母无法约分，保留这个分数即可）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michelle M