关于给定非线性系统原点稳定性分析的李雅普诺夫函数选取咨询

对于你给出的三维自治系统：
$$\begin{split} x'&=-x^3 \ y'&=-y(x^2+z2+1)\ z'&=-\sin(z) \end{split}$$

结合系统各变量的微分特性，非常推荐选取如下正定的李雅普诺夫函数：
$$V(x,y,z) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + (1 - \cos z)$$

函数合理性分析 #

1. 正定性验证
   当且仅当$(x,y,z)=(0,0,0)$时，$V(x,y,z)=0$；对于任意非零的$(x,y,z)$：

   • $\frac{1}{2}x^2 \geq 0$，仅当$x=0$时取等
   • $\frac{1}{2}y^2 \geq 0$，仅当$y=0$时取等
   • $1-\cos z \geq 0$，仅当$z=k\pi$（$k$为整数）时取等
     三者组合完全满足正定函数的定义，符合李雅普诺夫函数的基础要求。

2. 导数符号分析
   计算$V$沿系统轨迹的时间导数$\dot{V}$：
   $$\dot{V} = x\dot{x} + y\dot{y} + \sin z \cdot \dot{z}$$
   将系统的微分方程代入后化简：
   $$\dot{V} = x(-x^3) + y(-y(x^2+z2+1)) + \sin z(-\sin z)$$
   $$\dot{V} = -x^4 - y^2(x2+z^2+1) - \sin^2 z$$

   对化简后的$\dot{V}$进行符号判断：

   • $-x^4 \leq 0$，仅当$x=0$时取等
   • $-y^2(x2+z^2+1) \leq 0$，由于$x^2+z2+1 \geq 1 > 0$，仅当$y=0$时取等
   • $-\sin^2 z \leq 0$，仅当$z=k\pi$（$k$为整数）时取等

   在原点的小邻域内，只有原点$(0,0,0)$能让$\dot{V}=0$，其余所有点的$\dot{V}<0$，即$\dot{V}$在原点邻域内是负定的。

稳定性结论 #

根据李雅普诺夫渐近稳定性定理，由于$V$是正定函数，$\dot{V}$在原点邻域内负定，因此原点是渐近稳定的平衡点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user441848