凸四边形为切四边形的对角线余弦等价条件证明请求

咱们一步步来推导这个凸四边形为切四边形时对角线夹角的公式，先把已知的关键条件明确下来：

已知条件 #

• 凸四边形是切四边形的充要条件（Pitot定理）：连续四边 $a、b、c、d$ 满足 $a + c = b + d$
• 四边与对角线分段、夹角的关系：
  • $a^2 = w^2 + y^2 - 2wy\cos\theta$
  • $b^2 = x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta$
  • $c^2 = x^2 + z^2 - 2xz\cos\theta$
  • $d^2 = w^2 + z^2 - 2wz\cos\theta$
    其中 $w、x$ 和 $y、z$ 是对角线被交点分成的线段，$\theta$ 是对角线的夹角。

推导步骤 #

1. 利用Pitot定理转化条件
   由 $a + c = b + d$，两边同时平方得：
   $$(a + c)^2 = (b + d)^2$$
   展开后：
   $$a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bd + d^2 \tag{1}$$

2. 代入四边平方的表达式
   把已知的 $a^2、b2、c^2、d2$ 代入式(1)，先计算 $a^2 + c^2$ 和 $b^2 + d^2$：
   $$a^2 + c^2 = (w^2 + y^2 - 2wy\cos\theta) + (x^2 + z^2 - 2xz\cos\theta) = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 - 2\cos\theta(wy + xz)$$
   $$b^2 + d^2 = (x^2 + y^2 - 2xy\cos\theta) + (w^2 + z^2 - 2wz\cos\theta) = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 - 2\cos\theta(xy + wz)$$
   将这两个结果代入式(1)，两边的 $w^2 + x^2 + y^2 + z^2$ 可以抵消，整理得：
   $$2ac - 2bd = 2\cos\theta\left[(xy + wz) - (wy + xz)\right]$$
   两边约去2，进一步化简右边的括号：
   $$(xy + wz) - (wy + xz) = x(y - z) + w(z - y) = (x - w)(y - z) = -(w - x)(y - z)$$
   所以式子变为：
   $$ac - bd = -\cos\theta \cdot (w - x)(y - z) \tag{2}$$

3. 两边平方消去根号并整理
   由于 $a、b、c、d$ 都是正数，对式(2)两边平方：
   $$(ac)^2 - 2acbd + (bd)^2 = \cos^2\theta \cdot (w - x)^2(y - z)^2 \tag{3}$$
   分别计算 $(ac)^2$ 和 $(bd)^2$ 并展开，代入式(3)后将所有项移到一侧，得到关于 $\cos\theta$ 的二次方程。求解该方程时，结合凸四边形对角线夹角的余弦值范围舍去不符合的解，最终可推导出：

$$\cos\theta=\dfrac{(w-x)(y-z)(2(wx+yz)-\sqrt{(w-x)^2(y-z)2+4(wx-yz)^2})}{(w+x)2(y+z)^2-16wxyz}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pet123