求偏微分方程$y^{2}u_x + x^{2}u_y=0$的乘积解（含分离常数λ）

嘿，我把你给出的偏微分方程分离变量推导过程整理成了规范的Markdown格式，步骤清晰易读：

我们采用分离变量法来推导未知函数 $u=u(x,y)$ 的乘积解，涉及未知分离常数 $\lambda$（$C$ 为任意常数），具体推导步骤如下：

• 首先假设解的形式为分离变量的乘积：
  $$u(x,y) = X(x)Y(y)$$
  这里 $X(x)$ 仅依赖于变量 $x$，$Y(y)$ 仅依赖于变量 $y$。

• 将 $u=XY$ 代入原偏微分方程，得到：
  $$y^2 X'(x)Y(y) + x^2 X(x)Y'(y) = 0$$

• 两边同时除以 $X(x)Y(y)$（前提是 $X(x)Y(y) \neq 0$），整理后等式变为：
  $$\frac{y^2 X'}{X} + \frac{x^2 Y'}{Y} = 0$$

• 由于等式左边第一项仅与 $x$ 相关，第二项仅与 $y$ 相关，要使它们的和恒为0，必须让两项分别等于某个常数的相反数。我们引入未知分离常数 $\lambda$，由此可以将上式改写为：
  $$\frac{y^2 X'}{X} = -\frac{x^2 Y'}{Y} = \lambda$$
  进一步整理为更便于后续求解的形式：
  $$\frac{X'}{x^2 X} = -\frac{Y'}{y^2 Y} = \lambda$$

• 到这里我们就可以将原偏微分方程拆分为两个独立的常微分方程，分别求解 $X(x)$ 和 $Y(y)$：

  1. 针对 $X(x)$ 的常微分方程：
     $$\frac{X'}{X} = \lambda x^2$$
  2. 针对 $Y(y)$ 的常微分方程：
     $$\frac{Y'}{Y} = -\lambda y^2$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者CEP