数论gcd证明校验：若gcd(a,c)=1且b|c，求证gcd(a,b)=1

你的这个证明完全正确！思路清晰且逻辑严谨，每一步都紧扣数论的核心定义和定理，我来帮你梳理下推导的合理性：

• 第一步转化整除关系：已知b|c，根据整除的定义，直接写出c = bk（其中k∈ℤ），这是数论推导里的标准操作，没有问题。
• 贝祖定理的应用：因为gcd(a,c)=1，根据贝祖定理，必然存在整数x,y使得ax + cy = 1——这是互素数的关键性质，你用得非常准确。
• 代入推导与结论：把c = bk代入线性组合等式，得到ax + bky = 1，这里令p = ky（整数相乘仍为整数，所以p是整数），就得到了ax + bp = 1。再次利用贝祖定理的逆命题：只要存在整数x,p使得a和b的线性组合等于1，就说明gcd(a,b)=1，完美闭环了整个证明。

本质上，这个证明也验证了数论里的一个经典结论：若一个数与另一个数互素，那么它必然与这个数的所有因数互素，你的推导就是这个结论的严谨具象化，没有任何逻辑漏洞。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rose