如何计算前n项和：1·2+2·2²+…+k·2^k+…？求解答

Hey 👋，这个数列是典型的等差×等比型数列（每一项是等差数列项乘以等比数列项），最常用的解法就是错位相减法，我一步步给你拆解：

步骤1：定义前n项和$S_n$ #

先把前n项和明确写出来：
$$
S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n \tag{1}
$$

步骤2：两边乘以等比数列的公比 #

这个数列里等比部分的公比是2，所以给等式(1)两边同时乘2，让项的幂次错开一位：
$$
2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \dots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1} \tag{2}
$$

步骤3：错位相减，抵消中间项 #

用等式(1)减去等式(2)，对齐相同幂次的项相减，大部分中间项会直接抵消：
$$
S_n - 2S_n = \left[1 \cdot 2 + (2 \cdot 2^2 - 1 \cdot 2^2) + (3 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^3) + \dots + (n \cdot 2^n - (n-1) \cdot 2^n)\right] - n \cdot 2^{n+1}
$$

左边化简为$-S_n$，右边展开后剩下一个等比数列的和和最后一项：
$$
-S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}
$$

步骤4：计算等比数列的和 #

右边的$2 + 2^2 + \dots + 2^{n$是首项为2、公比为2的等比数列，用等比求和公式$\frac{a(q}n - 1)}{q-1}$计算：
$$
2 + 2^2 + \dots + 2^n = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2
$$

步骤5：整理得到最终结果 #

把等比数列的和代入，再化简：
$$
-S_n = (2^{n+1} - 2) - n \cdot 2^{n+1}
$$
$$
-S_n = (1 - n) \cdot 2^{n+1} - 2
$$
两边乘以-1，得到最终的前n项和公式：
$$
S_n = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2
$$

简单验证 #

比如n=1时，$S_1=1×2=2$，代入公式：$(1-1)×2^{2}+2=0+2=2$，正确；
n=2时，$S_2=2+8=10$，公式：$(2-1)×2^3+2=8+2=10$，也完全符合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WantToKnowMath