探讨点(x,y)趋近原点时不等式x+y+4sin(x)sin(y)≥0的成立性
首先我把目标表达式定义为二元函数：
$$f(x,y)=x+y+4\sin(x)\sin(y)$$
1. 原点处的极限与函数值
先看当$(x,y)$趋近原点时$f(x,y)$的极限：
利用$\sin t$在$t\to0$时的泰勒展开$\sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3)$，代入$f(x,y)$展开后可以发现，$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$，也就是说原点$(0,0)$处$f(x,y)=0$，刚好满足不等式的等号条件。
2. 原点处的梯度与局部趋势
接下来计算$f(x,y)$的梯度，看看原点附近函数的增减方向：
$$\nabla f(x,y)=\begin{bmatrix} 1 + 4\cos x \sin y \ 1 + 4\sin x \cos y \end{bmatrix}$$
代入$(0,0)$可得：
$$\nabla f(0,0)=\begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$$
这个梯度向量指向$x$和$y$同时递增的方向（第一象限），意味着在原点附近沿着这个方向移动时，$f(x,y)$会递增，也就是大于0。
这里要明确一个关于临界点的知识点：梯度为0的点一定是临界点（驻点），但梯度不为0的点绝对不是临界点。原点处梯度是$(1,1)\neq0$，所以原点不是临界点，这也说明函数在原点附近的不同方向会有不同的增减趋势——比如我们取第三象限的点$(x,y)=(-t,-t)$（$t>0$且很小）代入：
$$f(-t,-t)=-t -t +4\sin(-t)\sin(-t)=-2t +4\sin^2t$$
再用泰勒展开$\sin^2t = t^2 - \frac{t4}{3}+o(t4)$代入，得到：
$$f(-t,-t)=-2t +4t^2 + o(t^2)$$
当$t$足够小时，$-2t$是主导项，此时$f(-t,-t)<0$，这就说明在原点附近的第三象限小邻域内，原不等式是不成立的。
最终结论
总结一下原点附近的情况：
- 原点$(0,0)$满足不等式（等号成立）；
- 在原点附近的第一、第二、第四象限小邻域内（比如$x+y>0$的区域附近），$f(x,y)\ge0$成立；
- 在原点附近的第三象限小邻域内（即$x<0,y<0$且$|x|,|y|$足够小时），$f(x,y)<0$，原不等式不成立。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tuki
