证明含单射全纯映射的柯西型积分等式及退化情形

嘿，咱们来一步步拆解这个复分析的证明题，核心思路其实是利用共形映射和柯西积分公式的关联，挺直观的～

一、证明变形后的柯西公式 #

已知$f$和$g$都满足题设条件：$\Omega$是有界开集，边界是可求长若尔当曲线的不交并，$f$、$g$在包含$\overline{\Omega}$的开集上全纯，且$g$是单射。

对于固定的$w\in\Omega$，我们可以借助共形映射的性质来推导：
因为$g$是单射全纯函数，它是$\Omega$到像集$g(\Omega)$的共形映射，其逆函数$g^{-1}$在$g(\Omega)$上也全纯（单射全纯函数的逆函数全纯，这是复分析里的基本结论）。

构造函数$F(\zeta) = f(g^{-1}(\zeta))$，显然$F$在包含$\overline{g(\Omega)}$的开集上全纯（复合全纯函数依然全纯）。对$\zeta_0 = g(w) \in g(\Omega)$，直接套用标准柯西积分公式：
$$F(\zeta_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial g(\Omega)} \frac{F(\zeta)}{\zeta - \zeta_0}d\zeta$$

接下来做变量替换：令$\zeta = g(z)$，则$d\zeta = g'(z)dz$，$\zeta_0 = g(w)$，且$F(\zeta) = f(g^{-1}(\zeta)) = f(z)$。同时，$g$把$\partial\Omega$映射为$\partial g(\Omega)$，所以积分边界可以替换为$\partial\Omega$。代入后得到：
$$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} f(z)\frac{g'(z)}{g(z)-g(w)}dz$$
这就完成了第一部分的证明～

另外，也可以用留数定理来验证：对函数$h(z) = f(z)\frac{g'(z)}{g(z)-g(w)}$，$z=w$是它的一阶极点，计算留数可得$\text{Res}(h,w)=f(w)$，再由留数定理直接得到积分结果，和上面的结论一致。

二、验证$g(z)=z$时退化为标准柯西公式 #

当$g(z)=z$时，显然$g'(z)=1$，且$g(z)-g(w)=z-w$。把这两个代入我们刚证明的变形公式，直接得到：
$$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial\Omega} \frac{f(z)}{z-w}dz$$
这就是我们熟悉的标准柯西积分公式，完美契合题目的要求。

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