求lim(x,y)→(1,0)时(x²-y²-1)/(x²+y²-1)的极限及路径疑问

嘿，这个问题问得好！确实，多元函数的极限存在的核心条件是所有趋近目标点的路径，算出的极限都完全一致——只要能找到两条不同路径得到不同的极限，就能直接证明原极限不存在。你已经试过了$y=x-1$得到极限1，那我再给你几个简单易算的路径，结果和1完全不同：

• 路径1：沿$x=1$，$y \to 0$（从y轴方向趋近$(1,0)$）
  把$x=1$直接代入原函数：
  分子：1² - y² - 1 = -y²
  分母：1² + y² - 1 = y²
  函数值简化为-y² / y² = -1，当$y \to 0$时，极限就是**-1**，和你之前得到的1差异明显。

• 路径2：沿抛物线$y^2 = 2(x-1)$趋近$(1,0)$
  当$(x,y) \to (1,0)$时，$x \to 1$，同时$y^{2=2(x-1)$也趋近于0。将$y}2$替换为$2(x-1)$代入原函数：
  分子：x² - 2(x-1) - 1 = (x²-1) - 2(x-1) = (x-1)(x+1) - 2(x-1) = (x-1)^2
  分母：x² + 2(x-1) - 1 = (x²-1) + 2(x-1) = (x-1)(x+1) + 2(x-1) = (x-1)(x+3)
  约去$(x-1)$（$x \neq 1$）后，函数变为(x-1)/(x+3)，当$x \to 1$时，极限为0/4 = 0，同样不等于1。

• 路径3：沿右半抛物线$y = \sqrt{x-1}$趋近$(1,0)$
  这里$y^2 = x-1$，代入原函数：
  分子：x² - (x-1) - 1 = x² - x = x(x-1)
  分母：x² + (x-1) - 1 = x² + x - 2 = (x+2)(x-1)
  约去$(x-1)$后得到x/(x+2)，当$x \to 1$时，极限为1/(1+2) = 1/3，还是和1不同。

其实本质上，只要避开那些让分子分母中$(x-1)$的线性项系数恰好抵消的路径，大多能得到和1不同的极限。比如$x=1$这条路径直接消去了$(x-1)$项，结果就完全偏离了1。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sook Lim