如何求以√3+4i为根的整系数简化多项式？

你提到的复共轭定理方向是对的，但这里的根同时包含无理数部分（√3）和虚数部分（4i），只考虑复共轭是不够的，还得结合无理共轭的性质——对于有理系数（包括整系数）多项式，如果$a+\sqrt{b}$（$b$是非平方正整数、$a$是有理数）是根，那么$a-\sqrt{b}$也必然是根。

我们一步步来推导正确的多项式：

1. 先找出所有必须包含的根：

   • 原根：$\sqrt{3}+4i$
   • 它的复共轭根：$\sqrt{3}-4i$（依据复共轭定理）
   • 原根的无理共轭根：$-\sqrt{3}+4i$（把$\sqrt{3}$替换为$-\sqrt{3}$）
   • 无理共轭根的复共轭：$-\sqrt{3}-4i$

2. 分组相乘，先消去虚数部分：
   把复共轭的两个根对应的因式相乘：

   (x - (\sqrt{3}+4i))(x - (\sqrt{3}-4i)) = (x - \sqrt{3})^2 + 4^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 + 16 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 19
   

   再把无理共轭的两个根对应的因式相乘：

   (x - (-\sqrt{3}+4i))(x - (-\sqrt{3}-4i)) = (x + \sqrt{3})^2 + 4^2 = x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 + 16 = x^2 + 2\sqrt{3}x + 19
   

3. 把两个二次多项式相乘，用平方差公式消去无理项：

   (x^2 + 19 - 2\sqrt{3}x)(x^2 + 19 + 2\sqrt{3}x) = (x^2 + 19)^2 - (2\sqrt{3}x)^2
   

   展开计算后得到：

   = x^4 + 38x^2 + 361 - 12x^2
   = x^4 + 26x^2 + 361
   

这个四次多项式就是以$\sqrt{3}+4i$为根的首一整系数简化多项式（也就是次数最低的整系数多项式）。

你之前的问题出在只平方了复共轭得到的二次式，这样会人为制造二重根，反而引入多余的根；正确的做法是把所有“共轭根”（复共轭+无理共轭）都纳入，通过两两相乘让非整数系数完全抵消，最终得到符合要求的整系数多项式。

需要明确的是，这样的有理系数（整系数）多项式是存在的，我们通过共轭根的性质就能推导出来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user527141