非连通集上一致连续性判定及具体函数问题求解

题目背景 #

给定函数 $f:\mathbb{R}→\mathbb{R}$ 定义为：
$$ f(x) = \begin{cases} n &\text{if $x=n, x\in\Bbb N$}\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}$$
集合 $T= \mathbb{N}∪{n+\frac{1}{n} | n ∈ \mathbb{N}}$，在$\mathbb{R}$的通常度量下，判断$f$的一致连续性情况：

• a) 在$\mathbb{N}$上一致连续但在$T$上不
• b) 在$T$上一致连续但在$\mathbb{N}$上不
• c) 在两者上都一致连续
• d) 在两者上都不一致连续

我的困惑 #

我卡壳好几个小时搞不定这个问题，之前以为函数在定义域的孤立点处有定义就必连续，但$\mathbb{N}$中的点不是$\mathbb{R}$的孤立点啊，而且$$\lim_{x\to n+} f(x)=\lim_{x\to n-} f(x)= 0≠ f(n)$$，我完全搞不懂$f$怎么会在$\mathbb{N}$的点上连续，是不是我哪里理解错了？

问题拆解与解答 #

首先得纠正一个关键误区：我们讨论的是函数在子定义域上的连续性/一致连续性，不是在整个$\mathbb{R}$上！

1. $f$在$\mathbb{N}$上的一致连续性分析 #

当我们把$f$限制在$\mathbb{N}$上时，$\mathbb{N}$作为$\mathbb{R}$的子空间，每个点都是孤立点——举个例子，对任意自然数$n$，取$\delta=0.5$，$\mathbb{R}$里的开区间$(n-0.5, n+0.5)$和$\mathbb{N}$的交集只有${n}$，这就满足孤立点的定义。

对于孤立点，函数在该点必然连续：根据连续性的定义，对任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，当$x$属于定义域（这里是$\mathbb{N}$）且$|x-n|<\delta$时，$|f(x)-f(n)|<\epsilon$。这里只要取$\delta=0.5$，满足条件的$x$只有$n$自己，那$|f(n)-f(n)|=0<\epsilon$肯定成立。

再看一致连续性：对于离散的孤立点集，函数必然一致连续。我们可以取全局的$\delta=0.5$（这个$\delta$不依赖于具体的点），对任意$x_1,x_2\in\mathbb{N}$，只要$|x_1-x_2|<0.5$，那$x_1$和$x_2$只能是同一个点，自然$|f(x_1)-f(x_2)|=0<\epsilon$，完全符合一致连续的定义。

2. $f$在$T$上的一致连续性分析 #

$T$包含两类点：自然数$n$，以及$n+\frac{1}{n}$（$n\in\mathbb{N}$）。我们可以找反例证明$f$在$T$上不一致连续：

取$\epsilon=1$，不管$\delta>0$取多小，我们总能找到足够大的$n$，使得$|n - (n+\frac{1}{n})|=\frac{1}{n}<\delta$（只要$n>\frac{1}{\delta}$就行）。但此时$|f(n)-f(n+\frac{1}{n})|=|n-0|=n$，当$n>1$时，这个值就大于$\epsilon=1$了。

这就违反了一致连续的核心要求：一致连续需要存在一个全局的$\delta$，只要定义域内两点距离小于$\delta$，函数值的差就小于给定的$\epsilon$。但这里我们找不到这样的$\delta$——不管$\delta$多小，总能找到$T$里的两个点距离小于$\delta$，但函数值差大于1。

结论 #

所以$f$在$\mathbb{N}$上一致连续，但在$T$上不一致连续，对应选项a。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Akash Patalwanshi