求证：任意奇数n满足$n^2 -1$可被8整除，求解思路咨询

嘿，我看到你在纠结这个数论证明题，而且已经尝试了因式分解——其实你离答案只差一步啦！咱们一步步来拆解：

方法一：从因式分解的思路深入 #

首先你已经做对了第一步：把n²-1因式分解得到(n-1)(n+1)。

因为n是奇数，所以n-1和n+1是两个连续的偶数。这里有个关键特性：两个连续的偶数中，必然有一个是4的倍数。为什么呢？

• 所有偶数都可以写成2×整数，而整数要么是奇数要么是偶数；
• 连续的两个偶数，一个是2×奇数，另一个就是2×偶数（也就是4的倍数）；
• 所以它们的乘积就是2×4×某个整数=8×某个整数，自然能被8整除。

举个例子验证：

• 当n=3时，(3-1)(3+1)=2×4=8，8÷8=1；
• 当n=7时，(7-1)(7+1)=6×8=48，48÷8=6。

方法二：用奇数的通用表达式代入 #

我们可以把任意奇数n写成n=2k+1（其中k是整数），然后代入原式展开计算：

n²-1 = (2k+1)² - 1
     = 4k² + 4k + 1 - 1
     = 4k(k+1)

这里k和k+1是连续的整数，所以其中必有一个是偶数，也就是说k(k+1)=2m（m是整数）。把这个代入上式：
4k(k+1)=4×2m=8m，显然8m是8的倍数，所以n²-1能被8整除。

其实你一开始选的因式分解方向完全正确，只是没注意到连续偶数的特性~ 希望这两种方法能帮到你！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zhenqing Xu