行秩与Ax=b解的存在性等价性证明：反向推导困惑

我来帮你补完这个反向推导的步骤，顺着你正向证明用的行最简形思路走，逻辑会更连贯：

• 首先对增广矩阵 $[A|b]$ 做初等行变换，得到它的行最简形 $[A'|b']$。初等行变换不会改变矩阵的秩，所以有 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A')$，$\text{rank}(A|b) = \text{rank}(A'|b')$。结合已知的 $\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$，就能推出 $\text{rank}(A') = \text{rank}(A'|b')$。

• 设 $\text{rank}(A') = r$，那么 $A'$ 有且仅有 $r$ 个非零行，剩下的 $n-r$ 行都是全零行。因为 $\text{rank}(A'|b') = r$，所以 $[A'|b']$ 的非零行数量也必须是 $r$——这就意味着，$A'$ 中那些全零行对应的 $b'$ 行也必须是全零行。如果存在某一行 $A'$ 是全零但 $b'$ 非零，那 $[A'|b']$ 的秩就会变成 $r+1$，直接和 $\text{rank}(A') = \text{rank}(A'|b')$ 矛盾。

• 现在看行最简形对应的方程组 $A'x = b'$：它的非零行构成的方程组没有矛盾（不存在类似 $0 = k$ 且 $k \neq 0$ 的方程）。对于这个方程组，我们可以给所有自由变量（非主元对应的变量）任意赋值，再通过回代求出主变量的值，这样就能得到至少一组解。

• 最后，初等行变换是可逆操作，原方程组 $Ax = b$ 和行最简形对应的方程组 $A'x = b'$ 是同解的。既然 $A'x = b'$ 有解，那么 $Ax = b$ 肯定也有解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gershgorin