整数a下gcd(14a+3,21a+4)=1的证明正确性验证请求

先把要验证的命题和对应的证明过程明确出来：

已知命题：若$a$为整数，证明$\text{gcd}(14a+3,21a+4)=1$。
待验证的证明：设$a\in\mathbb{Z}$，需证$\text{gcd}(14a+3,21a+4)=1$。根据定理，存在整数$x,y$使得$(14a+3)x+y(21a+4)=1$，取$x=3$，$y=-2$，代入得$(14a+3)(3)+(-2)(21a+4)=1$，故$\text{gcd}(14a+3,21a+4)=1$。

接下来分析这个证明的正确性：

• 首先，这里用到的定理是贝祖定理，核心结论是：两个整数互质的充要条件是存在整数$x$、$y$，使得这两个数的线性组合等于1。这个证明的思路完全贴合定理要求，方向是对的。
• 咱们手动验证一下代入计算的结果：
  (14a+3)*3 + (-2)*(21a+4) = 42a + 9 - 42a - 8 = 1
  计算过程毫无问题，确实得到了1，而且$x=3$、$y=-2$都是整数，完全满足定理的条件。

所以这个证明是完全正确的，而且非常简洁直接，精准利用贝祖定理完成了互质性的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rose