微分方程的通积分：分离变量方程求解是否需考虑对数真数绝对值？

咱们从解这个方程的全过程入手，聊聊绝对值的必要性：

1. 先抓特殊解，再做分离变量 #

原方程整理后是：
$$x^2\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$$
首先得留意两个常数解：当$1-y^2=0$时，$y=1$和$y=-1$，这俩不用分离变量就能直接得到，千万别漏！

当$y\neq\pm1$时，我们可以安全地分离变量：
$$\frac{dy}{1 - y^2} = \frac{dx}{x^2}$$

2. 积分环节必须考虑对数绝对值 #

左边用部分分式分解：$\frac{1}{1-y^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+y} + \frac{1}{1-y}\right)$，根据基本积分公式$\int\frac{1}{u}du = \ln|u| + C$，这里必须加绝对值——不管$1+y$或$1-y$是正还是负，对数真数都得是非负的，否则式子根本无意义。

积分后得到：
$$\frac{1}{2}\left(\ln|1+y| - \ln|1-y|\right) = -\frac{1}{x} + C$$
合并左边的对数：
$$\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = -\frac{1}{x} + C$$

3. 化简时可通过常数调整去掉绝对值 #

两边乘2再取指数：
$$\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = e^{2C}e{-2/x}$$
这里令$K = \pm e^{2C}$（$K$是任意非零常数），就能去掉绝对值，写成：
$$\frac{1+y}{1-y} = Ke^{-2/x}$$
解这个式子得到$y$的表达式：
$$y = \frac{Ke^{-2/x} - 1}{Ke^{-2/x} + 1}$$
而且当$K=0$时，$y=-1$；当$K\to\infty$时，$y$趋近于1，把$K=0$纳入后，这个通解就包含了之前的两个常数解。

结论：要不要考虑绝对值？ #

• 从数学严谨性来说，必须考虑！直接省略绝对值相当于默认$\frac{1+y}{1-y}>0$，会漏掉$\frac{1+y}{1-y}<0$对应的那部分解。虽然最后通过常数$K$的正负能补回来，但积分步骤里的绝对值是逻辑上不可或缺的一环。
• 从最终通解的简洁性来说，我们可以通过引入任意常数$K$（允许正负）替代绝对值的影响，但前提是你得明白这个常数的由来是因为去掉了绝对值，不能一开始就无视它。

说白了，积分时不加绝对值，就相当于偷偷限定了解的范围，虽然结果看起来差不多，但解题过程是不严谨的——这在数学里是需要避免的小细节哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Giulia B.