设$V$为n次多项式向量空间，奇次多项式集合是否为其子空间？

首先得澄清一个容易混淆的点：严格来说，全体n次多项式的集合本身并不是向量空间——因为向量空间必须包含零向量（零多项式没有确定的次数，不属于n次多项式集合），而且两个n次多项式相加可能得到次数更低的多项式（比如$x^n + (-x^n)=0$），不满足加法封闭性。所以我们通常讨论的多项式向量空间是次数不超过n的全体多项式构成的空间，记为$P_n$，接下来的分析都基于这个标准的向量空间展开。

要判断一个集合是不是向量空间的子空间，必须同时满足三个核心条件：包含零向量、对加法封闭、对数乘封闭。我们逐一验证：

• 1. 是否包含零向量？
  零多项式的次数没有定义（或者约定为$-∞$），显然不属于“奇次多项式”（奇次多项式要求次数是正奇数）。这直接违反了子空间的必要条件——子空间必须包含原空间的零向量。

• 2. 是否对加法封闭？
  举个简单的反例：取两个奇次多项式$f(x)=x$（1次，奇次）和$g(x)=-x$（1次，奇次），它们的和是$f(x)+g(x)=0$，而零多项式不在奇次多项式集合里。哪怕大部分奇次多项式相加还是奇次，但只要存在一组不满足的情况，就说明加法不封闭。

• 3. 是否对数乘封闭？
  当标量$k≠0$时，奇次多项式乘以$k$确实还是奇次多项式；但当$k=0$时，结果是零多项式，不在这个集合里。而向量空间的数乘运算必须允许所有标量（包括0），所以这也不满足要求。

综上，V中所有奇次多项式组成的集合不是V的子空间，因为它既不包含零向量，也不满足加法和数乘的封闭性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gautam Kaushik