H¹函数的平方是否仍属于H¹空间？技术问询

这问题挺关键的，我来给你拆解清楚——先给反例直观说明，再讲成立的条件，最后聊聊论文里可能的情况～

核心结论 #

一般情况下，$u \in H^1(\Omega)$ 不能推出 $u^2 \in H^1(\Omega)$，但在一维区域或u额外有界的特殊场景下成立。

反例（n≥2时存在） #

取n=2，$\Omega$为单位球$B_1(0) \subset \mathbb{R}^2$，定义函数：
$$
u(x) =
\begin{cases}
|\log|x||^{1/4}, & |x| \leq 1/2 \
0, & |x| > 1/2
\end{cases}
$$
我们来验证：

1. $u \in H^1(\Omega)$：
   • $u \in L^2(\Omega)$：积分$\int_{B_{1/2}} |\log|x||^{1/2} dx$收敛（极坐标下转化为$\int_0^{1/2} |\log r|^{1/2} r dr$，变量替换后易证收敛）；
   • 弱梯度$\nabla u \in L^2(\Omega)$：$\nabla u(x) = \frac{1}{4} |\log|x||^{-3/4} \cdot \frac{x}{|x|^2}$，平方后积分$\int_{B_{1/2}} \frac{1}{16} |\log|x||^{-3/2} \cdot \frac{1}{|x|^2} dx$，极坐标下转化为$\frac{1}{16} \int_0^{1/2} |\log r|^{-3/2} dr$，变量替换$t=-\log r$后积分收敛。
2. $u^2 \notin H^1(\Omega)$：
   $u^2(x) = |\log|x||^{1/2}$（当$|x| \leq 1/2$），其弱梯度$\nabla(u^2)(x) = \frac{1}{2} |\log|x||^{-1/2} \cdot \frac{x}{|x|^2}$，平方后积分$\int_{B_{1/2}} \frac{1}{4} |\log|x||^{-1} \cdot \frac{1}{|x|^2} dx$，极坐标下转化为$\frac{1}{4} \int_0^{1/2} |\log r|^{-1} dr$，变量替换后积分发散，说明$\nabla(u^2) \notin L^{2(\Omega)$，因此$u}2 \notin H^1(\Omega)$。

成立的特殊情况 #

• 一维区域：当$\Omega \subset \mathbb{R}^{1$时，Sobolev嵌入定理给出$H}1(\Omega) \subset C^{{0,1/2}(\Omega)$，即u是Holder连续的（自然有界）。此时$\nabla(u}2)=2u\nabla u$，u有界、$\nabla u \in L^2$，故$2u\nabla u \in L^{2$，结合$u}2 \in L^{2$，可得$u}2 \in H^1(\Omega)$。
• u有界：若$u \in H^1(\Omega) \cap L^{\infty(\Omega)$，则$\nabla(u}2)=2u\nabla u$，因u有界，$\nabla u \in L^2$，故$2u\nabla u \in L^{2$，同时$u}2 \in L^{2$，因此$u}2 \in H^1(\Omega)$。

关于论文中的推导 #

论文里直接把$u^2$当作$H1(\Omega)$函数使用，大概率是以下情况之一：

• 论文隐含了u的有界性（比如问题背景中u是椭圆方程的解，自带$L^\infty$估计，只是没明确写出）；
• 推导中其实不需要$u^2 \in H^{1(\Omega)$，而是仅用到弱意义下的梯度$\nabla(u}2)=2u\nabla u$，通过分部积分等技巧处理（比如只需要$2u\nabla u$在某个$L^{p$空间中，而非$L}2$）；
• 论文可能在一维区域下讨论，此时自动满足$u^2 \in H^1(\Omega)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Steve