二阶导数大于0的函数特定中值等式证明及MVT应用问询

你提到普通中值定理确实只能保证存在某个中间点$c\in(x_1,x_2)$让$f'(c)$等于割线斜率，但这里我们要的是特定点$a$处的导数，得结合$f''(a)>0$带来的一阶导数局部性质来构造证明，具体步骤如下：

步骤1：分析$f'(x)$的局部单调性 #

因为$f$在$a$处二阶可导且$f''(a)>0$，根据导数定义：
$$f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}>0$$
这说明存在$\delta>0$：

• 当$x\in(a-\delta,a)$时，$x-a<0$，所以$\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}<0$，即$f'(x)<f'(a)$；
• 当$x\in(a,a+\delta)$时，$x-a>0$，所以$\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}>0$，即$f'(x)>f'(a)$。

简单说：$f'(x)$在$a$左侧严格小于$f'(a)$，在$a$右侧严格大于$f'(a)$，且在$a$附近是严格递增的。

步骤2：构造连续函数并应用介值定理 #

我们先任意取一个$x_1\in(a-\delta,a)\subset I$，然后定义函数：
$$F(x)=\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}, \quad x\in(a,a+\delta)\cup(a,d) \quad (d是开区间I的右端点)$$

分析$F(x)$的关键性质： #

1. 连续性：$F(x)$在定义域内连续（因为$f(x)$连续，且分母$x-x_1\neq0$）。
2. $x\to a^+$时的极限：
   $$\lim_{x\to a^+}F(x)=\frac{f(a)-f(x_1)}{a-x_1}$$
   根据拉格朗日中值定理，存在$c\in(x_1,a)$使得$\frac{f(a)-f(x_1)}{a-x_1}=f'(c)$，结合步骤1的结论，$f'(c)<f'(a)$，因此$\lim_{x\to a^+}F(x)<f'(a)$。
3. $x$在$a$右侧附近的取值：
   取$x_2\in(a,a+\delta)$，由拉格朗日中值定理，存在$c'\in(x_1,x_2)$使得$F(x_2)=f'(c')$。因为$c'>a$，所以$f'(c')>f'(a)$，即$F(x_2)>f'(a)$。

应用介值定理： #

$F(x)$在$(a,x_2)$上连续，且满足$F(a^+)<f'(a)<F(x_2)$，根据连续函数的介值定理，必然存在某个$x_2'\in(a,x_2)$使得$F(x_2')=f'(a)$，也就是：
$$f'(a)=\frac{f(x_2')-f(x_1)}{x_2'-x_1}$$

这样我们就找到了满足条件的$x_1<a<x_2'$。

另一种思路：利用泰勒展开构造辅助函数 #

令$g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)$，则$g(a)=0$，$g'(a)=f'(a)-f'(a)=0$，$g''(a)=f''(a)>0$。问题转化为找$x_1<a<x_2$使得$\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}=0$，也就是$g(x_2)=g(x_1)$。

由$g''(a)>0$可知，$g(x)$在$a$处取到局部极小值，即存在$\delta>0$，当$x\in(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$时，$g(x)>g(a)=0$。同时：

• $g(x)$在$(a-\delta,a)$上严格递减（因为$g'(x)=f'(x)-f'(a)<0$）；
• $g(x)$在$(a,a+\delta)$上严格递增（因为$g'(x)=f'(x)-f'(a)>0$）。

$g(x)$在$(a-\delta,a)$上从$g(a^{-)$递减到$g(a-\delta)$，在$(a,a+\delta)$上从0递增到$g(a+\delta)$，且$g(a}-)=g(a+\delta)>0$。根据连续函数的介值定理，必然存在$t_1,t_2\in(0,\delta)$使得$g(a-t_1)=g(a+t_2)$，即取$x_1=a-t_1$，$x_2=a+t_2$，就满足$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(a)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ro168