微积分习题答疑：平均成本变化率计算结果与参考答案不符

先别急，咱们把问题拆解清楚：题目问的是平均成本的变化率，不是成本函数的二阶导数哦！你之前直接对成本函数求了二阶导，这是误解了问题的核心~

正确的解题步骤： #

1. 先明确平均成本的定义
   平均成本$\overline{C}(x)$是总成本除以产量，也就是：
   $\overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{841 + 18\sqrt{x}}{x} = \frac{841}{x} + 18x^{-1/2}$

2. 对平均成本求导（这才是平均成本的变化率）
   根据求导法则分别计算两项：

• 第一项$\frac{841}{x}$的导数是$-\frac{841}{x^2}$
• 第二项$18x^{-1/2}$的导数是$18 \times (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -9x^{-3/2}$

所以平均成本的导数为：
$\overline{C}'(x) = -\frac{841}{x^2} - 9x^{-3/2}$

3. 代入x=500计算
   咱们分步算：

• 第一项：$-\frac{841}{500^2} = -\frac{841}{250000} = -0.003364$
• 第二项：$-9x^{-3/2} = -\frac{9}{500\sqrt{500}} ≈ -\frac{9}{500×22.3607} ≈ -0.000805$

把两项加起来：$-0.003364 - 0.000805 ≈ -0.004169$，保留四位小数就是**-$0.0042/套**，和参考答案完全一致啦！

补充说明： #

• 你之前算的$C''(x)$是成本函数的二阶导数，它表示的是「边际成本的变化率」，和题目要求的「平均成本的变化率」不是一回事~
• 而$C'(x)$是边际成本，指的是多生产一套西装的额外成本，也不是题目要的结果哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jacob