任意三角形中使a/PM+b/PN+c/PQ取最小值的点P位置及求证

嘿，你的推测完全正确！这个点确实是三角形的内心，下面我用两种易懂的方法给你证明，你可以根据自己的知识背景选择理解：

方法一：柯西不等式（几何+代数结合） #

先统一符号：设三角形ABC的面积为$S$，三条边长分别为$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$；点P到三边的距离分别记为$x=PM$，$y=PN$，$z=PQ$。

首先，根据三角形面积的分割性质，点P把原三角形分成三个小三角形，它们的面积之和等于原三角形面积：
$$\frac{1}{2}ax + \frac{1}{2}by + \frac{1}{2}cz = S$$
整理后得到约束条件：
$$ax + by + cz = 2S$$

我们的目标是求$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$的最小值。这里直接用柯西不等式的变形：
$$(ax + by + cz)\left(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}\right) \geq (a + b + c)^2$$

把约束条件$ax+by+cz=2S$代入左边，可得：
$$2S \cdot \left(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}\right) \geq (a+b+c)^2$$

进一步整理得到：
$$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2S}$$

柯西不等式的等号成立条件是：$\frac{ax}{\frac{a}{x}} = \frac{by}{\frac{b}{y}} = \frac{cz}{\frac{c}{z}}$，化简后就是$x^2=y2=z^2$。因为距离都是正数，所以$x=y=z$——而三角形内到三边距离相等的点，正是内心。这就证明了此时求和式取得最小值。

方法二：拉格朗日乘数法（微积分视角） #

如果你熟悉微积分，用拉格朗日乘数法也能得到相同结论：

同样设$x,y,z>0$（三个距离），约束条件为$ax + by + cz = 2S$，目标函数为$f(x,y,z)=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}$。

构造拉格朗日函数：
$$L(x,y,z,\lambda) = \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} + \lambda(2S - ax - by - cz)$$

对每个变量求偏导并令其等于0：

• 对$x$求偏导：$-\frac{a}{x^2} - a\lambda = 0$ → 化简得$\lambda = -\frac{1}{x^2}$
• 对$y$求偏导：$-\frac{b}{y^2} - b\lambda = 0$ → 化简得$\lambda = -\frac{1}{y^2}$
• 对$z$求偏导：$-\frac{c}{z^2} - c\lambda = 0$ → 化简得$\lambda = -\frac{1}{z^2}$
• 对$\lambda$求偏导：$2S - ax - by - cz = 0$（就是原约束条件）

从前面三个式子可以直接推出$x^2=y2=z^2$，即$x=y=z$，同样得到点P是内心的结论。

其实从几何对称性的角度也能直观感受到，内心作为三角形的对称中心之一，往往是这类极值问题的最优解，你的直觉非常准确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jason