ℓ¹(ℕ)*是否可分？恳请解答相关证明困惑

直接给结论：不可分。下面我一步步给你解释清楚：

首先回忆泛函分析里的核心结论：根据里斯表示定理，ℓ¹(ℕ)的对偶空间ℓ¹(ℕ)* 与ℓ^{∞(ℕ)等距同构——ℓ}∞(ℕ)就是所有有界实（或复）数列构成的空间，装备上确界范数||·||_∞。所以问题等价于：ℓ^∞(ℕ)是否可分？

为什么ℓ^∞(ℕ)不可分 #

这里用反证法给出标准证明：

• 考虑ℓ^{∞(ℕ)中所有仅由0和1组成的数列构成的集合S。每个这样的数列对应自然数集的一个子集的特征函数，因此S的基数是2}ℵ₀，也就是不可数的。
• 对于S中任意两个不同的数列x和y，必然存在某个下标n∈ℕ使得x(n)≠y(n)，此时||x - y||_∞ = 1（因为两者在该位置的差为1，其余位置为0，上确界就是1）。
• 假设ℓ^∞(ℕ)是可分的，那么它应该存在一个可数的稠密子集D。对每个s∈S，取以s为中心、半径1/3的开球B(s, 1/3)。这些开球两两不相交（因为任意两个球心的距离是1，大于2/3）。
• 但我们有不可数个这样的不相交开球，而每个球都必须包含可数稠密子集D中的至少一个元素——这显然不可能，因为可数集无法覆盖不可数个互不相交的非空集合。

这个矛盾就证明了ℓ^∞(ℕ)不可分，因此ℓ¹(ℕ)* 也不可分。

关于自反性的补充 #

你提到ℓ¹是非自反的，这点没错（它的二次对偶是ℕ上的有界有限可加测度空间ba(ℕ)），但这并不是这里的关键原因。即使是非自反空间，它的对偶也可能可分（比如c₀是非自反的，但它的对偶ℓ¹是可分的）。这里的核心是ℓ¹的对偶空间恰好是ℓ^∞，而ℓ∞本身的结构决定了它不存在可数稠密子集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者manifoldcurious