$\mathbf Z/p\mathbf Z^*$中算术级数平移的可能重叠规模探究

咱们先把问题的前提条件和核心定义梳理清楚：

• 设$n$为整数，$p$是满足$p>n$的素数，且$p-1$可被$n$整除，即$p-1=nk$（$k$为整数）
• 取乘法群$(\mathbf Z/p\mathbf Z)^*$中的元素$a$，要求$a≠1$

接下来是我们要研究的集合$S$的定义：

集合$S={x\in (\mathbf Z/p\mathbf Z)^:\ x\pmod{n} = xa\pmod{n}}$
注：这里需要明确，对于$(\mathbf Z/p\mathbf Z)^$中的元素$y$，“$y\pmod{n}$”指的是$y$在${1,\dots,p-1}$中的唯一代表元除以$n$得到的余数。

我们的目标是确定集合$S$的基数（元素个数）的上界。目前通过编写代码生成少量测试数据，初步推测$|S|\leq 2p/n$，但这个结论还未得到严格的数学证明。

从本质上看，这个问题可以转化为寻找满足以下同余式的数对$(\beta, i)$的数量：
nα +i ≡ (nβ+i)a (mod p)
其中参数的范围为：

• $\beta\in {0, 1, \ldots, p-1}$
• $i\in {1, \ldots, n}$
• $\alpha$为某一整数

内容的提问来源于stack exchange，提问作者caffeinemachine