透视投影是否为Möbius变换？能否将其定义为Möbius群的子群？

咱们直接给结论：是的，平面透视投影可以被视为Möbius变换的特例，其集合构成Möbius群的一个子群。下面从定义、代数形式和群结构三个层面拆解这个问题：

1. 先明确两个概念的核心 #

• Möbius变换：复平面（或黎曼球面）上的分式线性变换，形式为：

  f(z) = (az + b)/(cz + d)
  

  其中a,b,c,d是复数，且满足ad - bc ≠ 0（保证变换可逆）。它的核心性质就是保持四点的交比不变，同时是黎曼球面上的双全纯映射。
• 透视投影：从一个固定的投影中心出发，将一个平面上的点映射到另一个平面上的点（本质是射影变换的一种），同样具备交比不变性——这也是你问题的出发点。

2. 为什么透视投影是Möbius变换？ #

当我们把透视投影的目标平面和源平面都嵌入到复射影平面（或等价地，黎曼球面）中时，透视投影的代数形式恰好就是Möbius变换：

• 假设我们有两个复平面（比如z平面和w平面），投影中心位于三维空间中某个不在这两个平面上的点。通过射影坐标转换，我们可以把投影关系转化为分式线性的形式：w = (az + b)/(cz + d)，完全符合Möbius变换的定义，且满足可逆条件ad - bc ≠ 0（否则投影会退化，失去一一对应性）。
• 更直观地说：透视投影本质是一维复射影变换，而一维复射影变换与Möbius变换是一一对应的——它们都是保持射影结构（交比）的可逆变换。

3. 透视投影集合构成Möbius群的子群吗？ #

满足群的三个核心条件，所以答案是肯定的：

• 封闭性：两个透视投影的复合结果仍然是一个保持交比的可逆射影变换，对应到复平面上就是一个Möbius变换，且这个复合变换本身也可以看作是某个透视投影（或多次透视投影的组合，而组合后的变换依然属于Möbius群）。
• 单位元存在：恒等投影（即不改变任何点的投影）就是Möbius变换中的单位元f(z)=z。
• 逆元存在：对于任意一个透视投影，其逆变换（从目标平面投射回源平面的投影）也是一个透视投影，对应Möbius变换的逆变换f⁻¹(z)=(dz - b)/(-cz + a)，满足可逆条件。

需要补充一点：如果是更高维的透视投影（比如三维空间到三维空间的透视），那对应的变换不属于一维Möbius变换，但如果限制到平面上的投影，就完全对应到Möbius变换的范畴了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Master Drifter