递减盒子数量下找到目标盒子的平均尝试次数求解

首先纠正一个你提到的误区：累加前n次的找到概率（比如你算的前6次总和109.5%）是前6次内找到苹果的概率，这和平均尝试次数（数学期望）不是同一个概念，而且这个数值计算也有误——实际前6次找到的概率应该是60%，因为每次单独找到苹果的概率其实都是均等的1/10，咱们一步步拆解：

• 第1次找到苹果的概率：直接选到有苹果的盒子，就是1/10
• 第2次找到的概率：第一次没选到（概率9/10），然后从剩下9个里选到（1/9），计算得(9/10)*(1/9)=1/10
• 同理，第k次找到的概率：前k-1次都没选到，第k次选到。计算时前k-1次的概率项会相互约分，最终结果还是1/10

也就是说，不管是第1次到第10次，每次找到苹果的概率都是均等的1/10。那平均尝试次数（数学期望）就是把每个尝试次数乘以对应的概率，再相加：

E = 1*(1/10) + 2*(1/10) + 3*(1/10) + ... + 10*(1/10)

简化一下，提取公因子1/10，就是1到10的和除以10：

E = (1+2+...+10)/10 = 55/10 = 5.5

所以最终的平均尝试次数是5.5次，也就是介于5次和6次之间，比你猜测的5次稍多一点，但远不到6次。这个问题的核心是理解“每次找到的概率均等”——因为盒子是无差别的，不管你按什么顺序开，每个盒子被选中作为“找到苹果的那个”的概率都是1/10，所以期望就是所有可能次数的平均值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TrickyInt