复分析积分不等式证明验证：|∫_γ f(z)dz| ≤ Mℓ(γ)

你的这个直接证明完全正确！每一步推导都严格遵循了复积分与积分不等式的相关定理，咱们来拆解每一步的合理性：

问题回顾 #

已知$f$是连续函数且$|f(z)| \leq M$，需证明不等式$|\int_\gamma f(z)dz| \leq M\ell(\gamma)$，其中$\ell(\gamma)=\int_0^1|\gamma'(t)|dt$。

你的证明尝试 #

$$\Big|\int_{\gamma} f(z) dz \Big|= \Big|\int_{0}^1 f(\gamma(t))\gamma'(t) dt\Big |\leq\int_{0}^1 \Big|f(\gamma(t))\Big |\Big |\gamma'(t)\Big | dt\leq \int_{0}^1 M\Big |\gamma'(t)\Big | dt =M\int_{0}^1 |\gamma'(t)| dt=M \ell (\gamma)$$

逐步骤合理性说明 #

• 第一步等式：这是复积分的参数化定义，将沿曲线$\gamma$的积分转化为参数$t\in[0,1]$的定积分，前提是$\gamma$为可求长的光滑/分段光滑曲线（题目中$\ell(\gamma)$的定义已隐含该条件），推导完全合法。
• 第一个不等式：用到了复积分的模长不等式——对于复值函数的定积分，有$|\int_a^b g(t)dt| \leq \int_a^b |g(t)|dt$，这是实积分绝对值不等式在复域的自然推广，成立无争议。
• 第二个不等式：直接利用题目给出的核心条件$|f(z)| \leq M$，由于$\gamma(t)$是曲线$\gamma$上的点，因此$|f(\gamma(t))| \leq M$；再结合积分的基本性质（常数可提出积分号），这一步严谨无误。
• 最后一步等式：直接代入曲线长度$\ell(\gamma)$的定义，完成结论推导，逻辑闭环。

整体来看，你的证明逻辑链条完整，每一步都有明确的定理或条件支撑，是非常标准且严谨的证明方式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ryanriess