请求拆解k≤c×logn/loglogn相关的对数推导关键步骤

没问题，我来帮你把这两步推导拆解得明明白白，咱们一步一步来：

首先我们已知前提条件：$k \leq \frac{c \times \log n}{\log \log n}$，而且这里默认n是足够大的正整数（毕竟涉及到$\log \log n$，n至少要大于$e^e$才能保证这个值为正）。

我们先处理$\log k$这部分：
因为对数函数是单调递增的，所以对不等式两边取对数后不等号方向不变：
$$\log k \leq \log\left( \frac{c \log n}{\log \log n} \right)$$
根据对数的运算法则$\log(ab/d) = \log a + \log b - \log d$，可以把右边展开：
$$\log\left( \frac{c \log n}{\log \log n} \right) = \log c + \log(\log n) - \log(\log \log n)$$
注意到当n足够大时，$\log(\log \log n)$是一个正数（比如n > $e^{ee}$），所以减去一个正数后的值肯定小于$\log c + \log(\log n)$，因此：
$$\log k \leq \log c + \log \log n$$

现在把这个结果代入左边的$k \log k$：
因为$k \leq \frac{c \log n}{\log \log n}$，同时$\log k \leq \log c + \log \log n$，两个正数相乘，不等号方向保持不变，所以：
$$k \log k \leq \frac{c \log n}{\log \log n} \times (\log c + \log \log n)$$
这样第一步推导就完成了。

同样基于n足够大的前提，我们先把左边的式子展开拆分：
$$\frac{c \log n}{\log \log n} \times (\log c + \log \log n) = \frac{c \log n \times \log c}{\log \log n} + \frac{c \log n \times \log \log n}{\log \log n}$$
第二项的$\log \log n$可以直接约掉，简化后得到：
$$= c \log n \times \frac{\log c}{\log \log n} + c \log n$$

现在看第一项：c是已知常数，所以$\log c$也是一个固定的常数，而当n趋向无穷大时，$\log \log n$会趋向于无穷大。这意味着当n足够大时，$\frac{\log c}{\log \log n}$会小于$\frac{1}{c}$（因为分母无限大，分子固定，总能找到一个足够大的n使得这个分数小于任意给定的正数，这里我们取$\frac{1}{c}$）。

所以第一项可以被放缩：
$$c \log n \times \frac{\log c}{\log \log n} \leq c \log n \times \frac{1}{c} = \log n$$

把这个放缩结果代回原式：
$$c \log n \times \frac{\log c}{\log \log n} + c \log n \leq \log n + c \log n = (c+1)\log n$$
这样第二步推导也就成立了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John Smith