关于Hyperabelian群的商群仍为Hyperabelian群的证明问询

首先我们明确一下核心定义，避免歧义：

群( G )称为Hyperabelian群，当且仅当( G )的每个非平凡商群都包含一个非平凡的交换正规子群。

接下来我们给出完整的正式证明：若( G )是Hyperabelian群，则( G )的任意商群( G/K )（其中( K \triangleleft G )）也是Hyperabelian群。

证明步骤： #

1. 取( G/K )的任意非平凡商群
   根据群的第三同构定理，( G/K )的所有商群都可表示为( (G/K)/(N/K) )，其中( N )是( G )的正规子群，且满足( K \subseteq N \subseteq G )。
   注意到( (G/K)/(N/K) )是非平凡的等价于( N \neq G )（若( N=G )，则商群为平凡群）。

2. 利用( G )的Hyperabelian性质
   因为( N \neq G )，所以( G/N )是( G )的非平凡商群。而( G )是Hyperabelian群，根据定义，( G/N )必存在一个非平凡的交换正规子群，设为( M/N )——这里( M )是( G )的正规子群，满足( N \subset M \subseteq G )，且( M/N )是交换群。

3. 将( M/N )对应到目标商群中
   由第三同构定理，我们有同构关系：
   [
   (M/K)/(N/K) \cong M/N
   ]
   现在验证关键细节：

   • ( M/K \triangleleft G/K )：因为( M \triangleleft G )且( K \triangleleft G )，根据商群正规子群的对应法则，( M/K )是( G/K )的正规子群。
   • ( N/K \triangleleft M/K )：由于( M/N )是( G/N )的正规子群，可推出( N \triangleleft M )，因此( N/K )是( M/K )的正规子群。
   • ( (M/K)/(N/K) )非平凡：因为( N \subset M )，所以( N/K \subset M/K )，商群显然非平凡。
   • ( (M/K)/(N/K) )是交换群：它与交换群( M/N )同构，自然继承交换性。

4. 最终结论
   上述推导说明，( G/K )的任意非平凡商群( (G/K)/(N/K) )都存在一个非平凡的交换正规子群( (M/K)/(N/K) )。根据Hyperabelian群的定义，( G/K )必然是Hyperabelian群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者johnka