求解整数域上的方程$x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y$

你已经完成了关键的分解和互质性分析，这为后续求解打下了非常扎实的基础！我们可以基于这些结论，通过互质因子分配和枚举验证来找出所有整数解。

首先先梳理下你已经得到的核心结论：

原方程等价于 $x(x+1) = y(y+1)(y^2+1)$，且：

• $\gcd(x, x+1) = 1$（连续整数必然互质）
• $\gcd(y, y+1) = 1$，$\gcd(y, y^2+1) = 1$（若质数$p$同时整除$y$和$y^2+1$，则$p$整除$1$，矛盾）
• 补充一个细节：$\gcd(y+1, y^2+1) = \gcd(y+1, 2)$（因为$y^2+1 = (y-1)(y+1) + 2$，所以公因数只能是1或2）

接下来分步骤展开求解：

一、先枚举小整数y的值快速找解 #

我们先试几个简单的y值，直接代入方程求解x：

• y=0：右边=0×1×1=0，方程变为$x(x+1)=0$，解得$x=0$或$x=-1$
• y=-1：右边=(-1)×0×2=0，同样得$x=0$或$x=-1$
• y=2：右边=2×3×5=30，方程变为$x^{2+x-30=0$，判别式$1+120=121=11}2$，解得$x=5$或$x=-6$
• y=1：右边=1×2×2=4，方程$x^2+x-4=0$的判别式17不是平方数，无整数解
• y=-2：右边=(-2)×(-1)×5=10，方程$x^2+x-10=0$的判别式41不是平方数，无整数解

二、一般情况的互质因子分配分析 #

因为左边$x(x+1)$是两个互质整数的乘积，右边$y(y+1)(y^{2+1)$的因子中，除了$y+1$和$y}2+1$可能有公因数2外，其余两两互质。我们分两种情况讨论：

情况1：$\gcd(y+1, y^2+1)=1$（即y为偶数，y+1是奇数） #

此时右边三个因子$y, y+1, y^2+1$两两互质，因此它们必须分别分配到$x$和$x+1$中（一个因子单独为其中一项，另外两个因子的乘积为另一项）：

• 子情况1.1：$x=y$，$x+1=(y+1)(y^2+1)$
  代入得$y+1=(y+1)(y^{2+1)$，若$y≠-1$，两边除以$y+1$得$y}2+1=1$，即$y=0$，对应解$x=0$；$y=-1$时已在枚举中验证成立。
• 子情况1.2：$x=y+1$，$x+1=y(y^2+1)$
  代入得$y+2=y^{3+y$，整理为$y}3-2=0$，无整数解。
• 子情况1.3：$x=y(y^2+1)$，$x+1=y+1$
  代入得$y^{3+y+1=y+1$，即$y}3=0$，得$y=0$，对应解$x=0$。
• 子情况1.4：$x=(y+1)(y^2+1)$，$x+1=y$
  代入得$(y+1)(y^{2+1)+1=y$，整理为$y}3+y^2+2=0$，试整数根均不成立，无整数解。

情况2：$\gcd(y+1, y^2+1)=2$（即y为奇数，y+1是偶数） #

此时$y$是奇数，$y+1=2k$，$y^2+1=2m$（$k,m$均为整数），右边可改写为$y×2k×2m=4ykm$，且$y,k,m$两两互质。由于$x$和$x+1$互质，4必须全部分配到其中一个因子中，拆分后仅两种子情况有解：

• 子情况2.1：$x=ym$，$x+1=4k$
  代入得$\frac{y(y^{2+1)}{2}+1=2(y+1)$，整理为$y}3-3y-2=0$，因式分解得$(y+1)^2(y-2)=0$，解得$y=-1$（已枚举）或$y=2$（但y=2是偶数，不符合本情况前提，舍去）。
• 补充负数分配情况：当$x$和$x+1$均为负数时，本质是$(-x-1)(-x)=y(y+1)(y^2+1)$，对应$-x$和$-x-1$是正连续整数，和正数情况对称。比如y=2时，右边=30，对应$-x=6$，$-x-1=5$，得$x=-6$，这就是我们之前枚举到的解。

三、所有整数解总结 #

综合以上分析，方程的所有整数解为：

• $(x,y)=(0,0), (-1,0), (0,-1), (-1,-1), (5,2), (-6,2)$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user128409235