给定实数a,b满足|a|≥2,|b|≥2，证伪/证明P(x)所有根为实数

嘿，这个问题的核心突破口正是你提到的**互反多项式（回文多项式）**性质，笛卡尔符号法则在这里确实不如变量替换直接，我来一步步给你拆解：

步骤1：利用互反多项式做变量替换 #

首先观察到$P(x)$是互反多项式：系数对称，即$P(x) = x^4 P(1/x)$，且$x=0$显然不是根（常数项为1）。我们可以给原多项式两边同时除以$x^2$，整理成关于$y = x + \frac{1}{x}$的形式：

P(x)/x² = x² - (a+b)x + (ab+2) - (a+b)/x + 1/x² = 0

利用恒等式$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$，代入后式子可以化简为：

y² - 2 - (a+b)y + ab + 2 = 0

进一步整理得到二次方程：

y² - (a+b)y + ab = 0

步骤2：求解二次方程并回代 #

这个二次方程的根非常容易求解，因式分解后得到$y=a$或$y=b$。接下来我们分别解两个方程：

• 当$y=a$时，即$x + \frac{1}{x} = a$，整理为二次方程：$x² - ax + 1 = 0$
• 当$y=b$时，即$x + \frac{1}{x} = b$，整理为二次方程：$x² - bx + 1 = 0$

步骤3：判断根的实数性 #

对于二次方程$x² - kx + 1 = 0$（k为a或b），其判别式为$\Delta = k² - 4$。题目中给出$|a|≥2$，$|b|≥2$，因此：

• $a² ≥ 4$，$\Delta_a = a² - 4 ≥ 0$
• $b² ≥ 4$，$\Delta_b = b² - 4 ≥ 0$

这意味着两个二次方程的根都是实数（当$|k|=2$时，判别式为0，对应重根，比如$k=2$时根为$x=1$（二重根），$k=-2$时根为$x=-1$（二重根），依然是实数）。

结论 #

原四次多项式$P(x)$的四个根就是这两个二次方程的根，因此所有根均为实数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者bluemaster