同态（homomorphism）与函数（function）的差异解析及疑问

嘿，我也发现网上很少有把函数和同态这俩数学概念讲透对比的优质资料——虽说都是圈子里人尽皆知的基础内容，但它们的边界确实挺模糊的。我整理了点自己的理解，咱们一起捋捋：

数学中，函数是输入集合与允许输出集合间的一种关系，每个输入恰好对应一个输出；同态是同一类型代数结构（如两个群、两个环或两个向量空间）之间的保结构映射。

从定义里很容易踩一个误区：有人会觉得函数是单射的？这绝对是错的！单射要求每个输出最多对应一个输入，但函数只要求每个输入对应恰好一个输出，完全允许多个输入对应同一个输出——比如最简单的$f(x)=x^2$，如果定义域是全体实数，输出集合也是全体实数的话，它既不是单射（1和-1都映射到1）也不是满射（负数没有原像），但它依然是个完全合法的函数。

不管是函数还是同态，它们都可以是以下任意一种类型：

• 单射（Injective）：每个输出最多对应一个输入
• 满射（Surjective）：输出集合里的每个元素都有至少一个输入对应
• 双射（Bijective）：同时满足单射和满射
• 非单非满：既不满足单射也不满足满射，就是刚才举的$f(x)=x^2$的例子

函数是更宽泛的底层概念——只要满足“每个输入对应唯一输出”的映射都叫函数，它不要求输入和输出集合有任何额外的代数结构（比如运算规则）。而同态不一样，它是限定在同一类型代数结构之间的映射，而且必须“保结构”：

• 比如群同态要满足$f(a*b)=f(a)f(b)$（这里的是群定义的运算）
• 环同态要同时保加法和乘法两种运算
• 向量空间的同态（也就是线性映射）要满足$f(ax+by)=af(x)+bf(y)$

说白了，所有同态都是函数，但反过来，只有当一个函数能严格保持两个代数结构的运算规则时，它才能被称为同态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antoni Parellada