竞赛题求解：给定a≤b≤c∈[0,1]，求函数f(a,b,c)的最大值

今天碰到一道面向资优生的竞赛题，尝试求解时感觉难度拉满，先把题目和我的初步思路整理出来：

已知$a,b,c\in[0,1]$且满足$a\leq b\leq c$，求函数
$$ f(a,b,c)=c(\sqrt{a}+\sqrt{b})-(a+b)\sqrt{c} $$
的最大值。

我的初步尝试过程：

注意到$f(a,b,c)\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}-a-b$，实际上，后一个不等式等价于
$$ (1-\sqrt{c})((\sqrt{a}+\sqrt{b})(1-\sqrt{c}-a-b))\geq 0. $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Blind