矩形内弹跳点轨迹：y关于x、θ、W、H的表达式推导

咱们来一步步拆解这个问题：给定宽为$W$、高为$H$的矩形（$W>H$），从某条短边上取一点，以与底边夹角为$θ$（$0<θ<90°$）的方向抛出，碰壁后遵循光的反射规律反弹，最终推导任意$x$位置对应的$y$坐标，覆盖0到无穷次反弹的情况。

核心思路：用镜像法简化反弹逻辑 #

直接计算每次反弹的坐标会非常繁琐，咱们用镜像法把问题转化为直线运动：每次碰到垂直墙（左右边，$x=0$或$x=W$），就把矩形沿垂直方向镜像复制；碰到水平墙（上下边，$y=0$或$y=H$），就沿水平方向镜像复制。这样，原矩形内的反弹路径，就对应镜像后矩形中的一条直线，这条直线的斜率和初始抛射角的正切值完全一致：tanθ = Δy/Δx。

步骤1：定义基础变量 #

先明确初始条件：

• 设初始抛射点在左侧短边的$(0, y₀)$位置（$0<y₀<H$，$y₀$是初始点到底边的距离）
• 抛射方向与底边（$x$轴正方向）的夹角为$θ$，因此直线的斜率为$tanθ$

步骤2：计算水平方向的等效距离 #

对于原矩形内任意$x$（$0≤x≤+\infty$），先计算水平方向碰壁的次数：

• 令q = floor(x / W)：$q$是碰到垂直墙的总次数（$q≥0$，整数）
• 令r = x % W：$r$是当前$x$在所在矩形内的水平偏移量（$0≤r<W$）

根据$q$的奇偶性，确定等效的直线水平距离：

• 若$q$为偶数：说明当前处于**正向（向右）**的镜像矩形，等效水平距离就是$x$本身
• 若$q$为奇数：说明当前处于**反向（向左）**的镜像矩形，等效水平距离为2qW - x（相当于从初始点走到第$q$次碰壁后，再反向走剩余距离的总长度）

步骤3：计算镜像后的y坐标 #

用等效水平距离计算镜像矩形中的直线y坐标：

y_mirror = y₀ + (x if q%2==0 else 2qW - x) * tanθ

步骤4：映射回原矩形的y坐标 #

现在需要把镜像中的$y_mirror$映射回原矩形的$0≤y≤H$范围：

• 令p = floor(y_mirror / H)：$p$是碰到水平墙的总次数（$p≥0$，整数）
• 令s = y_mirror % H：$s$是当前$y_mirror$在所在矩形内的垂直偏移量（$0≤s<H$）

根据$p$的奇偶性，确定原矩形内的$y$：

• 若$p$为偶数：直接取偏移量，即y = s
• 若$p$为奇数：取对称偏移量，即y = H - s

最终整合表达式 #

把上述步骤整合，得到任意$x$对应的$y$坐标：

1. 计算水平碰壁次数与偏移：q = floor(x / W)，r = x - q*W
2. 计算等效水平距离对应的镜像y：y_mirror = y₀ + (x if q%2==0 else 2*q*W - x) * tanθ
3. 计算垂直碰壁次数与偏移：p = floor(y_mirror / H)，s = y_mirror - p*H
4. 映射回原矩形：y = s if p%2==0 else H - s

特殊情况验证 #

• 0次反弹：当$q=0$且$y_mirror≤H$时，$y = y₀ + x*tanθ$，就是初始的直线抛射，符合预期
• 趋近90°的极端情况：$θ→90°$时，$tanθ→+\infty$，$y_mirror$会快速增大，$p$的取值也会快速增加，对应无穷次垂直反弹，符合题目描述

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Powereleven