不用洛必达法则与泰勒级数求极限：limₓ→₁(x-1)tan(πx/2)

嘿，你选换元 $u = x - 1$ 这步太关键了！接下来咱们一步步把这个极限拆解明白：

1. 完成换元替换
   当 $x \to 1$ 时，$u = x - 1 \to 0$，同时 $x = u + 1$。把这些代入原式，得到：
   $$\lim_{u\to0} u \cdot \tan\left(\frac{\pi(u+1)}{2}\right)$$

2. 化简正切项的角度
   先展开角度里的表达式：
   $$\frac{\pi(u+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi u}{2}$$
   这里可以用正切的诱导公式：$\tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\cot\theta$（本质是利用正余弦诱导公式推导：$\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=\frac{\cos\theta}{-\sin\theta}=-\cot\theta$）。令 $\theta = \frac{\pi u}{2}$，代入后原式变为：
   $$\lim_{u\to0} u \cdot \left(-\cot\left(\frac{\pi u}{2}\right)\right) = -\lim_{u\to0} u \cdot \frac{\cos\left(\frac{\pi u}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi u}{2}\right)}$$

3. 拆分极限并利用重要极限
   我们可以把这个极限拆成两个独立的极限乘积（因为两个极限都存在）：
   $$-\left(\lim_{u\to0} \cos\left(\frac{\pi u}{2}\right)\right) \cdot \left(\lim_{u\to0} \frac{u}{\sin\left(\frac{\pi u}{2}\right)}\right)$$

   • 第一部分：当 $u \to 0$ 时，$\cos\left(\frac{\pi u}{2}\right) \to \cos0 = 1$，所以这部分极限是1。
   • 第二部分：回忆重要极限 $\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$，我们令 $t = \frac{\pi u}{2}$，则 $u = \frac{2t}{\pi}$，当 $u \to 0$ 时 $t \to 0$。代入后：
     $$\lim_{t\to0} \frac{\frac{2t}{\pi}}{\sin t} = \frac{2}{\pi} \cdot \lim_{t\to0} \frac{t}{\sin t} = \frac{2}{\pi} \cdot 1 = \frac{2}{\pi}$$
     （因为 $\frac{t}{\sin t}$ 是 $\frac{\sin t}{t}$ 的倒数，极限也为1）

4. 合并结果
   把两部分的极限结果乘起来：
   $$-1 \cdot \frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi}$$

这样就得到了最终的极限值啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user372003