是否存在无内点且无孤立点的集合？实数子集相关求证

你猜的没错！有理数集$\mathbb{Q}$确实完全符合“没有内点且没有孤立点”的要求，咱们来一步步验证它满足这两个条件：

一、有理数集没有内点 #

根据内点的定义：若一个点是集合的内点，必须存在一个包含该点的开区间，且整个区间都属于这个集合。
对于任意有理数$q \in \mathbb{Q}$，任何包含$q$的开区间$(a,b)$里，必然存在无理数（这是实数的核心稠密性性质）——也就是说，这个开区间不可能完全包含在$\mathbb{Q}$中。因此，$\mathbb{Q}$里没有任何一个点是内点。

二、有理数集没有孤立点 #

孤立点的定义是：存在一个开区间，该区间内除了这个点本身，再也没有集合中的其他元素。
还是利用有理数的稠密性：对于任意有理数$q \in \mathbb{Q}$，任何包含$q$的开区间$(a,b)$里，都有无穷多个其他有理数。这意味着$q$的任意邻域内都有$\mathbb{Q}$的其他元素，所以$\mathbb{Q}$里不存在孤立点。

额外例子：无理数集 #

除了有理数集，无理数集$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$也满足同样的条件：

• 无内点：任何开区间里都包含有理数，所以没有开区间能完全属于无理数集；
• 无孤立点：任何开区间里都有无穷多个无理数，每个无理数的邻域内都有其他无理数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rajat