求随机选取的三个自然数a,b,c满足a²+b²+c²被7整除的概率

这题我来帮你理清楚思路，其实核心就是利用余数的周期性来简化问题——自然数除以7的余数只有0到6这7种情况，我们先从这里入手：

第一步：计算各余数的平方模7结果 #

把每个余数r对应的r²除以7的余数列出来：

• 当余数为0时：0² mod7 = 0
• 当余数为1时：1² mod7 =1
• 当余数为2时：2² mod7 =4
• 当余数为3时：3²=9，9-7=2，所以3² mod7=2
• 当余数为4时：4²=16，16-14=2，所以4² mod7=2
• 当余数为5时：5²=25，25-21=4，所以5² mod7=4
• 当余数为6时：6²=36，36-35=1，所以6² mod7=1

第二步：整理平方余数的分布 #

从上面的结果可以看出，平方余数只有4种可能，对应的余数选择数和概率如下：

• 平方余数为0：仅余数0这1种情况，随机选一个数得到该结果的概率为1/7
• 平方余数为1：余数1、6这2种情况，概率为2/7
• 平方余数为2：余数3、4这2种情况，概率为2/7
• 平方余数为4：余数2、5这2种情况，概率为2/7

第三步：寻找符合条件的组合并计算概率 #

我们需要三个数的平方余数之和能被7整除。由于每个平方余数最大是4，三个数的和最大为12，所以可能的7的倍数只有0和7：

情况1：三个平方余数之和为0 #

只有一种可能：三个数的平方余数都是0（因为非负数相加为0只能全是0）。这种情况的概率是：

(1/7) × (1/7) × (1/7) = 1/343

情况2：三个平方余数之和为7 #

只有一种组合能凑出7：1+2+4=7。这三个数的顺序可以任意排列，总共有3! =6种排列方式（比如1、2、4；1、4、2；2、1、4等）。每种排列对应的概率是：

(2/7) × (2/7) × (2/7) = 8/343

所以这部分的总概率是：

6 × 8/343 = 48/343

最终结果 #

把两种情况的概率相加：

1/343 + 48/343 = 49/343 = 1/7

所以，从自然数集中随机选取三个数a,b,c，a²+b²+c²能被7整除的概率是1/7。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DXT