域中加法消去律证明：已知x+z=y+z，求证x=y

嘿，你的推导思路其实已经走对大半了！咱们顺着你的步骤补全最后关键的一步就行，核心是用域的加法公理来收尾。

先明确一下域F满足的核心加法公理（咱们要用到的）：

• 加法结合律：对任意$a,b,c \in F$，$(a+b)+c = a+(b+c)$
• 加法单位元性质：存在唯一的$0 \in F$，使得对任意$a \in F$，$a+0 = a$
• 加法逆元性质：对任意$a \in F$，存在唯一的$-a \in F$，使得$a+(-a)=0$

顺着你的推导补全： #

你已经推导出了：

$y + (-x) = 0$

这时候咱们对等式两边同时加上x，利用加法结合律展开：

(y + (-x)) + x = 0 + x

左边用结合律重新分组：

y + ((-x) + x) = y + 0 = y

右边用加法单位元的性质：

0 + x = x

等式左右两边相等，自然就得到了 $y = x$，也就是$x=y$。

更直接的常规证法（供参考）： #

其实可以跳过中间替换逆元的步骤，直接从已知条件出发：
已知$x+z = y+z$，两边同时加上$z$的加法逆元$-z$：

(x+z) + (-z) = (y+z) + (-z)

左边用结合律：

x + (z + (-z)) = x + 0 = x

右边同理：

y + (z + (-z)) = y + 0 = y

所以直接得出$x=y$，这样更简洁。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者abc bca