基于欧拉-拉格朗日方程求解带积分约束的极小曲线问题

嘿，这个问题正好是变分法里带约束极值的经典案例——求固定边界、固定面积下的最短弧长曲线，算是等周问题的变种。我来一步步给你拆解怎么用欧拉-拉格朗日方程结合拉格朗日乘数法解决：

我们的核心目标是最小化弧长泛函：
$$L[y] = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (y')^2} dx$$
同时要满足面积约束：$\int_{0}^{1} y(x) dx = 1$，还有边界条件 $y(0)=0, y(1)=0$，以及区间内$y(x) \geq 0$的要求。

用拉格朗日乘数法把约束融入泛函，构造新的极值泛函（常数项不影响极值，所以可以简化）：
$$\mathcal{F}[y] = \int_{0}^{1} \left( \sqrt{1 + (y')^2} + \lambda y(x) \right) dx$$
这里$\lambda$是拉格朗日乘数，我们要找让$\mathcal{F}[y]$取极值的函数$y(x)$。

对于形如 $\int_{a}^{b} F(x, y, y') dx$ 的泛函，欧拉-拉格朗日方程是：
$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$$

针对我们的$F(x,y,y') = \sqrt{1 + (y')^2} + \lambda y$，计算偏导数：

• 对$y$的偏导：$\frac{\partial F}{\partial y} = \lambda$
• 对$y'$的偏导：$\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}}$

把这两个代入欧拉-拉格朗日方程，得到：
$$\lambda - \frac{d}{dx}\left( \frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}} \right) = 0$$

对这个式子两边积分一次，得到：
$$\frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \lambda x + C_1$$
这里$C_1$是积分常数。

令$p = y'$，把方程变形为：
$$\frac{p}{\sqrt{1 + p^2}} = \lambda x + C_1$$
两边平方后整理，解出$p$：
$$p = \frac{\lambda x + C_1}{\sqrt{1 - (\lambda x + C_1)^2}}$$

再对$p$积分得到$y(x)$：
$$y(x) = -\frac{1}{\lambda} \sqrt{1 - (\lambda x + C_1)^2} + C_2$$
这里$C_2$是第二个积分常数。把式子整理一下，会发现这是圆的方程：
$$(\lambda x + C_1)^2 + (\lambda (y - C_2))^2 = 1$$
这说明最优曲线是一段圆弧——这也符合直觉：固定面积下，圆弧是最短的闭合曲线（等周定理），这里是固定边界的情况，所以是一段圆弧。

首先代入边界条件$y(0)=0$和$y(1)=0$：

1. 当$x=0$：$-\frac{1}{\lambda} \sqrt{1 - C_1^2} + C_2 = 0$
2. 当$x=1$：$-\frac{1}{\lambda} \sqrt{1 - (\lambda + C_1)^2} + C_2 = 0$

因为两个等式右边都是0，所以左边的根号项相等，平方后可以推出$C_1 = -\frac{\lambda}{2}$（$\lambda$不能为0，否则约束不起作用）。

把$C_1=-\lambda/2$代入$y(0)=0$的式子，解出$C_2$：
$$C_2 = \frac{\sqrt{1 - (\lambda/2)^2}}{\lambda}$$

现在$y(x)$的表达式可以简化为：
$$y(x) = \frac{1}{\lambda} \left( \sqrt{1 - (\lambda/2)^2} - \sqrt{1 - \lambda^2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2} \right)$$

接下来用面积约束$\int_{0}^{1} y(x) dx =1$来求$\lambda$。通过变量替换和积分计算，最终会得到一个关于$\lambda$的超越方程：
$$k\sqrt{1 - k^2} - \arcsin k = 4k^2$$
其中$k = \lambda/2$。这个方程没有解析解，需要用数值方法（比如牛顿迭代法）求解，得到$k$后就能算出$\lambda$，进而得到完整的圆弧方程。

另外，因为要求$y(x)\geq0$，这段圆弧必然是向上凸的（位于x轴上方，连接(0,0)和(1,0)），完全符合题目要求。

满足所有条件的曲线是一段圆弧，其具体方程通过上述步骤确定，其中拉格朗日乘数$\lambda$需通过数值方法求解面积约束方程得到。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jaqen Chou