求映射g:ℂ→ℂ, g(z)=e^(iz)的压缩区域，解析|e^(iz)|<1的区域

你已经推导到关键步骤了，咱们把剩下的环节拆解清楚，就能明白这个区域是什么了：

1. 先确认导数的模长计算
   对于映射g(z) = e^{iz}，求导可得g'(z) = i \cdot e^{iz}。复数模长的性质是|ab|=|a||b|，而|i|=1，所以确实|g'(z)| = |e^{iz}|，压缩区域就是满足|e^{iz}| < 1的所有复数z的集合。

2. 将z拆分为实部和虚部分析
   设z = x + iy（其中x,y是实数，x是z的实部，y是z的虚部），代入iz可得：
   iz = i(x + iy) = ix + i^2 y = -y + ix
   那么e^{iz} = e^{-y + ix} = e^{-y} \cdot e^{ix}

3. 计算|e^{iz}|的具体值
   复数e^{ix}是单位复数（模长为1，因为它对应单位圆上的点），而e^{-y}是正实数，所以它的模长就是自身。因此：
   |e^{iz}| = |e^{-y}| \cdot |e^{ix}| = e^{-y}

4. 解不等式e^{-y} < 1
   指数函数e^t是单调递增的，所以e^{-y} < 1等价于-y < 0，也就是y > 0。

所以这个压缩区域是复平面的上半平面——所有虚部大于0的复数构成的区域，完全不是圆形哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者valer