已知X、Y联合概率分布表，求Z=XY的概率分布

别担心，这个问题其实很直观，核心思路就是把所有(X,Y)组合对应的Z值算出来，再把相同Z值的概率加总就行，我一步步给你拆解：

第一步：列出所有(X,Y)组合对应的Z值和概率 #

先逐个遍历联合分布表的每个单元格，计算Z=XY的值，同时记下对应的概率：

• 当X=2时：
  • (2,1) → Z=2×1=2，概率0.11
  • (2,3) → Z=2×3=6，概率0.05
  • (2,6) → Z=2×6=12，概率0.20
  • (2,9) → Z=2×9=18，概率0.08
• 当X=3时：
  • (3,1) → Z=3×1=3，概率0.20
  • (3,3) → Z=3×3=9，概率0.02
  • (3,6) → Z=3×6=18，概率0.00（这个概率为0，不影响结果）
  • (3,9) → Z=3×9=27，概率0.10
• 当X=7时：
  • (7,1) → Z=7×1=7，概率0.00（同样忽略）
  • (7,3) → Z=7×3=21，概率0.05
  • (7,6) → Z=7×6=42，概率0.10
  • (7,9) → Z=7×9=63，概率0.09

第二步：合并相同Z值的概率 #

把所有Z值相同的项的概率加起来，就能得到Z的概率分布了：

• Z=2：0.11
• Z=3：0.20
• Z=6：0.05
• Z=9：0.02
• Z=12：0.20
• Z=18：0.08 + 0.00 = 0.08
• Z=21：0.05
• Z=27：0.10
• Z=42：0.10
• Z=63：0.09

最终的Z概率分布表 #

如果想更清晰，可以整理成表格形式：
$$\begin{array}{c|cccccccccc} Z&2&3&6&9&12&18&21&27&42&63\ \hline P(Z)&0.11&0.20&0.05&0.02&0.20&0.08&0.05&0.10&0.10&0.09\ \end{array}$$

你可以验证一下所有概率加起来是不是1：0.11+0.20+0.05+0.02+0.20+0.08+0.05+0.10+0.10+0.09=1，完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ryan Schubert