单变量序列收敛等价子序列收敛结论是否适用于二重序列？

Great questions—let's unpack them clearly, since double sequences have some subtle differences from single-variable sequences that are easy to miss.

问题1：二重序列收敛当且仅当其所有子序列收敛是否成立？ #

结论：不成立

首先明确二重序列收敛的标准定义（Pringsheim收敛）：我们称二重序列{x_{m,n}}收敛到极限L，是指对任意ε>0，存在正整数N，当m>N且n>N时，|x_{m,n}-L|<ε。

这个命题的两个方向：

• 正向成立：如果{x_{m,n}}收敛到L，那么它的任意子序列{x_{m_k,n_k}}（其中{m_k}、{n_k}是严格递增的正整数序列）必然收敛到L。因为当k足够大时，m_k>N且n_k>N，满足收敛的ε-N条件。
• 反向不成立：即使所有子序列都收敛，原二重序列也可能不收敛。举个经典反例：
  定义x_{m,n} = 1（当m = n时），0（当m ≠ n时）
  这个序列的所有子序列都收敛：
  • 若子序列中只有有限个项满足m_k=n_k，则子序列最终全为0，收敛到0；
  • 若子序列中有无穷多个项满足m_k=n_k，则这些项构成的子序列收敛到1（有限项不改变极限）。
    但原序列不收敛：取ε=0.5，无论N多大，总能找到m=N+1,n=N+1（值为1）和m=N+1,n=N+2（值为0），两者与任何候选极限L的距离至少有一个超过0.5，不满足收敛定义。

所以“所有子序列收敛”不能推出原二重序列收敛，整个命题不成立。

问题2：单变量序列“收敛当且仅当其所有子序列收敛至与原序列相同的极限”的结论是否适用于二重序列？ #

结论：适用

我们把结论严谨表述为：二重序列{x_{m,n}}收敛到L当且仅当它的所有子序列都收敛到同一个极限L。

• 正向成立：和问题1的正向逻辑一致，原序列收敛到L时，所有子序列必然收敛到L。
• 反向成立：假设所有子序列都收敛到L，但原序列不收敛到L。根据收敛的否定定义，存在ε_0>0，使得对任意N，都存在m>N,n>N满足|x_{m,n}-L|≥ε_0。我们可以构造这样的子序列：
  1. 取N_1=1，找到m_1>1,n_1>1，使得|x_{m_1,n_1}-L|≥ε_0；
  2. 取N_2=max(m_1,n_1)，找到m_2>N_2,n_2>N_2，使得|x_{m_2,n_2}-L|≥ε_0；
  3. 重复这个过程，得到子序列{x_{m_k,n_k}}，其中每一项都满足|x_{m_k,n_k}-L|≥ε_0，显然这个子序列不可能收敛到L，与“所有子序列都收敛到L”的前提矛盾。

因此，这个单变量序列的结论可以推广到二重序列，只要我们强调“所有子序列收敛至同一极限”。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user523692