已知ℝ⁴中向量u、v，求点U到span(v)的距离及方法验证

首先得给你点个赞，你对span(v)的定义是完全正确的！span(v)确实是所有形如 t*(1, 0, -2, 3)（其中t是任意实数）的向量构成的一维子空间，也就是ℝ⁴中过原点和点V的直线。

不过你打算直接计算“span(v)-U的范数”的思路不太对哦——span(v)是一个包含无数点的子空间，不是单个点，所以我们要找的是这个子空间里离点U最近的点，然后计算U到这个最近点的距离，而这个最近点其实就是向量u在span(v)上的正交投影对应的点。

正确计算步骤 #

对于点到一维子空间（由单个向量张成）的距离，我们可以用正交投影的方法来求解：

1. 计算向量u与v的内积：
   内积公式为 u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ + u₄v₄，代入数值：

   u·v = (1)(1) + (2)(0) + (-1)(-2) + (-3)(3) = 1 + 0 + 2 - 9 = -6
   

2. 计算向量v的内积（即v的模长平方）：

   v·v = 1² + 0² + (-2)² + 3² = 1 + 0 + 4 + 9 = 14
   

3. 求u在v上的正交投影向量：
   投影公式为 proj_v(u) = (u·v)/(v·v) * v，代入数值：

   proj_v(u) = (-6/14) * (1, 0, -2, 3) = (-3/7, 0, 6/7, -9/7)
   

4. 计算u与投影向量的差向量：

   u - proj_v(u) = (1 + 3/7, 2 - 0, -1 - 6/7, -3 + 9/7) = (10/7, 2, -13/7, -12/7)
   

5. 计算该差向量的范数（即距离）：
   范数公式为 ||x|| = √(x₁² + x₂² + x₃² + x₄²)，代入数值：

   ||u - proj_v(u)|| = √[(10/7)² + 2² + (-13/7)² + (-12/7)²]
   = √[(100 + 196 + 169 + 144)/49]
   = √(609/49) = √609 / 7 ≈ 3.51
   

简单来说，点到子空间的距离本质是原向量到其在子空间上正交投影向量的距离，这是因为正交投影点是子空间中离原向量最近的点，这个结论在欧几里得空间中是成立的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者x1124970