如何证明整除性命题？自然数整除命题逆否法后续步骤咨询

首先，我们的目标是证明逆否命题：∀r,s∈N, ∃k∈Z, r=sk ⇒ r≥s∨r≤0。核心思路是对整数k的取值进行分情况讨论——毕竟k的不同取值直接决定了r和s的大小关系，这是突破点。

分情况讨论整数k的所有可能取值 #

基于前提“存在整数k使得r = s·k”，结合自然数（N）的非负性，我们可以把k拆成三类逐一分析：

• 情况1：k ≤ 0
  由于s是自然数（s ≥ 0），非负整数乘以非正整数的结果必然非正，即 s·k ≤ 0。而r = s·k，因此直接可得 r ≤ 0，完美匹配结论中的一个分支。

• 情况2：k = 1
  此时r = s·1 = s，显然r等于s，这属于r ≥ s（等于关系本身就包含在大于等于的定义里），满足结论的另一个分支。

• 情况3：k ≥ 2
  如果s = 0，那么r = 0·k = 0，即r ≤ 0，符合结论；如果s ≥ 1（哪怕你的自然数定义是从1开始，s也必然≥1），那么s·k ≥ s·2 ≥ s（因为s≥1时，乘以大于1的整数结果肯定大于等于自身），因此r = s·k ≥ s，也就是r ≥ s，同样满足结论。

验证逻辑完整性 #

整数k的所有可能取值已经被上述三种情况完全覆盖，没有遗漏。在每种情况下，只要前提“r = s·k”成立，结论r≥s∨r≤0就必然成立——这就意味着逆否命题得证。而根据逆否命题与原命题的逻辑等价性，原命题∀r,s∈N,r<s∧r>0⇒s∤r也随之被证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Spectacles4